Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3524 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ. ЧАСТЬ I

Занятие 1. Декартова и полярная системы координат. Построение графиков функций Аудиторные задания

1.1Построить графики функций:

− x

x−1

, 0 < x ≤ 2,

y = 2log2 cos x ;

y =

;

y = 2x−| x −2 | +1;

y =

2 | x −1|

−2x, −

3 < x ≤ 0.

− x

y =

;

y =

1−cos 2x

y = sin | x | −1;

y = log

+1;

1/ 2

| x | +1

1.2Построить графики функций, заданных параметрически:

1)	x = −1+ 2t, y = 2 −t ;	2)	x = t, y = t2 − 4 ; 3) x = 2 cost, y = sin t ;		4) x =1−t2 , y = t −t3 ;
5)	x = at2 , y = bt3 ;	6)	x = 2 cos3 t, y = 2sin3 t ;	7) x = −1+ 2 cost,	y = 3 + 2sin t ;
8)	x = 2(t −sin t), y = 2(1−cost) .

1.3Записать уравнения кривых в полярных координатах:

1) y = x ;

2) y =1;

3) x2 + y2 = 4 ; 4) x2 + y2 = 2y ; 5) x + y −1 = 0 ;

6) x2 − y2 = a2 .

1.4Построить графики функций, заданных уравнением в полярной системе коор-

динат:

1)	r =1;	2) r = 2ϕ;		3) r cosϕ = 2 ;			4) r = eϕ ;		5) r = 4cosϕ ;	6) r = 3sin 2ϕ;
7)	r = 2(1+cosϕ) ;		8) r =	6		;	9) r =	2	; 10) r = 2cos3ϕ;	11) r2 = 36sin 2ϕ.
					3 + 2cosϕ			1+sin ϕ

Домашние задания

1.5Построить следующие кривые:

y =| x2 − x − 2 | ;

y = x+| x +3| ;

3) x = t2 +1, y = t ;

4) x = t3, y =t2 ;

r = 2sin ϕ;

r = 3(1−sin ϕ) ;

7) r = 4cos 2ϕ;

r =

1− cos ϕ

Ответы:

1.3 1) ϕ =

π ; 2) r =

;

3) r = 2 ; 4) r = 2sin ϕ;

5) r =

;

6) ρ2 =

sin

sin ϕ+cosϕ

cos 2ϕ

Занятие 2. Матрицы и действия над ними

Аудиторные задания

2.1 Найти 2A+ 3B −C , если

125

	1 0		−2				−1		1 0			3 4		5
		2 1						2	−3 4				1 −3	2
	A =		−3 ,			B =					, C =				.
		−4 3	5					1	−5 6				8 −6	7

				2			5		− 4
2.2	Найти 3A+2E, если		A=		−1		−3		1
										, E – единичная матрица третьего порядка.
					2		1		− 2

2.3Найти матрицу X , если

	−1		3		1	1		−7
2		2	4	+			2	8
					3	X =			.
		0	5				−3	9

2.4Найти матрицу, транспонированную матрице А:

		2	5	4				1
1)		1	3		;	2)		2	;	3) A= (a a a).
1)	A=	1	3	−1	;	2)	A=	2	;	3) A= (a a a).
		− 2	0	1				3
		− 2	0	1				3

			1		0		1		−1		1		3
2.5	Даны матрицы	A		−1	3			3	1			5	6	. Найти:
			=			,	B =			,	C =
				5	0			7	0			− 2	3

1) 2А;	2) 2A +3B −C ;								3) − 2CT .

2.6Даны матрицы A и B. Найти AB и BA, если:

		1		0	2			2		7	1		1		1 0		0		7			3
1)	A =		0	−1 3			B =		3	2	−4	; 2)						3	4	; 3)		4		B = (5 −2 3).
						,							A =			,	B =				A =		,
														3	−1 5
			4	0	5				1	−3	5							1	0			2

2.7Вычислить

3		0	1	−1		1	1
	2	−1 0			2	−2
							.

	3	0	1		5	0	−1

2.8Найти те из произведений AB, BA, A2, B2 , которые существуют:

													5
1)	1	2		0	−1		;						−3	;
1)	A =	; B =					;		2) A = (1 −2 3 0); B =					;
	3	4		1	2								−4
	3	4		1	2								−4
													1
													1
	2	0 3			−4					3 5	−1	2		4
3)	2	0 3				−3		;	4)	3 5	−1			0
3)	A =	2 1	; B		=	−3		;	4)	A =	; B = −3			0	.
	−1	2 1				5				2 −2	0		5	1
						5							5	1

2.9Найти произведение матриц (AB)C и A(BC):

126

−5		0	3			3	0
	4	1	−1					−2
A =				,	B =	−2
							1 , C =	.
	2	−3 2						3

						4	3
	1	5	3

2.10 Показать, что матрица	2		−1	является корнем многочлена
	A =
		3	1

f(x) = x2 −3x + 5 .

2.11Найти значение матричного многочлена f (A), если:

	1)	f (x)= 2x2 −3x +1,				A	1			0	;
	1)	f (x)= 2x2 −3x +1,				A	=				;
							0			−1
							1		−3		0
	2)	f (x)= x2						0		2 1		;
	2)	f (x)= x2		−3x + 2, A =				0		2 1		;
								3	−3		2
								3	−3		2
	3)	f (x)= 2x3 − x2 +3,				A =		−1		2
	3)	f (x)= 2x3 − x2 +3,				A =				.
								−3		1
										Домашние задания
	2.12		Найти:		1) 3A − 2B ,					если		1	2	0		1	;	2)	2B −5A, если
	2.12		Найти:		1) 3A − 2B ,					если		A =	; B =		1	− 2	;	2)	2B −5A, если
												3	4		1	− 2
	0	2	4		0	5	10
A =	− 6		; B	=	−15 10 0				.
	− 6	4 0			−15 10 0

2.13Найти (A +3B)2 , если

1		4	7		− 2		1	−1
	2	5	−8			1	0	2
A =				, B =					.
	−3	6	9			4	−1 0

2.14Найти те из произведений AB, BA, AC, CA, BC, CB , которые имеют смысл, если

		1 −1 3			0	−1		0		1	2	0
	A=	1 −1 3			0	−1	,		−1 2		0	0
	A=			,	B =		,	C =	−1 2		0	0	.
						1
		2 0 2			1	1			1	2	1	0
									1	2	1	0
	2.15 Проверить, коммутируют ли матрицы A и B:
				4		1	2		−5		3			2		7	3		7 −6		1
1)	A = (1 2 3), B			5	; 2) A	1	2		−5		3	; 3)			3	9	4			−5 3
1)	A = (1 2 3), B		=	5	; 2) A	=	5	; B =				; 3)		A =	3	9	4	, B =		−5 3	1 .
				6		3	5		2		−1				1	5	3			6 −3
				6											1	5	3			6 −3	−3

2.16Найти значение матричного многочлена f (A), если:

127

		1		0			2		3	−3
1)	f (x)= 2x2 −2x +7,				; 2)	f (x)= 3x2		0	1	4
		A =	2				+ 5x − 2, A =				.
				−1				5	− 2	1

2.17Найти матрицу AT, если:

					1		2								1	− 2			0
					1		2								3		5					;	3) A = (1 2 3 4).
		1) A =				3		; 2) A =							3		5		− 7			;	3) A = (1 2 3 4).
						3	4								− 4		1		2
															− 4		1		2
					−4 −1						−9					8			15 −12									9		−39						2		1 −2
Ответы: 2.1						9			−4			4		;	2.2		−3		−7				3						−6	0			2.4 1)	T	=		5	3	0	;
Ответы: 2.1						9			−4			4		;	2.2		−3		−7				3		; 2.3				−6	0		;	2.4 1)	A	=		5	3	0	;
						−13 −3						21					6		3										−9	−3							4	−1 1
						−13 −3						21					6		3				− 4						−9	−3							4	−1 1
											a								2 0							4		−6			−2 −10			4
2)	AT = (1		2		3); 3)				AT					;	2.5 1)			−2			6		; 2)				2		3	;3)	−2 −10			4		;
2)	AT = (1		2		3); 3)				AT		= a			;	2.5 1)			−2			6		; 2)				2		3	;3)		−6 −12				;
																		10			0						33	−3				−6 −12		−6
											a							10			0						33	−3
				4			1 11								6				−7 30											3	11			21 −7 35
2.6 1)		AB =			0	−11				19						−	13		−2			−8				2) AB =				3	11				−1			20	;
2.6 1)		AB =			0	−11				19		,	BA =			−	13		−2			−8			;	2) AB =				2		,	BA = 15		−1			20	;
							13				29					21			3			18								2	17			1	1			0
				13			13				29					21			3			18												1	1			0
		15			−6			9											−1
3)			20		−8			12											−8		;
3)	AB =		20		−8			12		,	BA = (13); 2.7								−8		;
			10		−4			6											−1
			10		−4			6											−1
2.8 1)		AB =		2 3					BA		−		3		−4						7 10							=	−1	−2
2.8 1)		AB =			4 5		;		BA		=				10	; A2			=						; B2			=		3		;
					4 5						7				10				15				22						2	3
								5			−10				15		0
									−3			6			−9		0
2)	AB = (−1); BA =								−3			6			−9		0			2	и		B	2	−	не существуют;
2)	AB = (−1); BA =																		; A		и		B		−	не существуют;
									−4			8			−12		0
									−4			8			−12		0
									1			−2			3		0
									1			−2			3		0

3)AB = 7 ; BA, A2, B2 − не существуют;

	−14	11				14		2	−2
4)	−14	11			−9			−15	3			и	B2 − не существуют;
4)	AB =	; BA =			−9			−15	3	; A2		и	B2 − не существуют;
	10	8
	10	8			17			23	−5
					17			23	−5
			33										0	0	−3
				−18					0	0			0	0	−3		18		−20
2.9 (AB)C = A(BC)=				−18			;	2.11 1)	0	0	; 2)			−3		; 3)	18		−20	;
2.9 (AB)C = A(BC)=				−31			;	2.11 1)		6	; 2)		3	−3	1	; 3)		30	−2	;
				−31					0	6								30	−2
													0	−12	−3
				32									0	−12	−3
				32

128

					3	4				0 0	0			96		12	2							− 2 0		− 2
2.12	1)				3	4	;	2)		0 0	0		2.13		−18	54	−8			2.14		BA		− 2 0		− 2	;
2.12	1)						;	2)			;		2.13		−18	54	−8		;	2.14		BA		=			;
					7 16					0 0	0														3 −1	5
					7 16					0 0	0				51	105									3 −1	5
															51	105	111
AC =	4		5		5	0				2.15 1)		не		коммутируют;					2)		не			коммутируют:
AC =						;				2.15 1)		не		коммутируют;					2)		не			коммутируют:

	2		6		6	0
	−1				1			4		5								−3		0	0
	−1				1			4		5	коммутируют: AB = BA =								0	−3			;
AB =						≠ BA =				; 3)	коммутируют: AB = BA =								0	−3	0		;
		−5			4			−1		−1									0	0
																			0	0	−3
		7				0		−25 60			−6					1	3				1			3 −5
2.16 1)		7				0			60	−18	44		; 2.17 1)			1	3	; 2)				−2		5	1	;
2.16 1)						; 2)			60	−18	44		; 2.17 1)		AT =		4	; 2)		AT =		−2		5	1	;
			−4 11						70	23						2	4					0		−7 2
									70	23	−63											0		−7 2
			1
				2
3) A	T	=		2
3) A		=		3	.
				3
				4
				4

Занятие 3. Вычисление определителей Аудиторные задания

3.1Вычислить определители второго порядка:


	2		−5					a		1					cos x		sin x				4			a							ln x		ln y	.

1)				;		2)					;		3)					;	4)			a				;			5)
1)	3		−1	;		2)		a 2		− a	;		3)		−cos x		sin x	;	4)		−1		4 a3			;			5)		2
	3		−1					a 2		− a					−cos x		sin x				−1		4 a3								2		5
			3.2				Вычислить определители третьего порядка различными способами:
1)		−1 5			2		; 2)		0	− a	−b	;		3)		cosα	0		sin α	;	4)		1		0		4	;		5)		0	− 4		1	.


		3	− 2 7						a	0 −c						1	1		0				3		8		−1					1	3		1
		5	−6		3				b	c	0					0	cosα		sin α				−1		4		2					2	4		1

3.3Вычислить определители по правилу Саррюса и разлагая по элементам 1-й стро-

ки:

1)	1	2	3	;	2)	3	4		−5	.
	1	2	3			3	4		−5
	4	5	6			8	7		−2
	7	8	9			2	−1		8
		3.4			Решить уравнение:			x	x +1		= 0 .
		3.4			Решить уравнение:			x	x +1		= 0 .
								−4 x +1

3.5	Решить уравнение	1	3	x	= 0 .
		1	3	x
		4	5	−1
		2	−1	5

129

	x2	x	1
3.6	Построить график функции y = −1	1	1 .

11 1

3.7Вычислить определители, разлагая по элементам ряда:

	2	5	0	4			2	4	−1	2
	2	5	0	4			2	4	−1	2
1)	1	7	0	2	;	2)	−1 2		3	1	.
	3	8	1	6			2	5	1	4
	4	9	3	8			1	2	0	3

3.8Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:

	1	2	3	4			2	1	−5	1
	1	2	3	4			2	1	−5	1
1)	1	3	3	4	;	2)	1	−3 0 −6			.
	1	−1	7	4			0	2	−1	2
	1	−2	5	9			1	4	−7	6

3.9Вычислить определители, предварительно упростив их:

	−3		2	1	0			1		2		3	1		5			1		5	−2		13


								0		1		0	5		1
		2 −2 1			4			0		1		0	5		1			0		2	7		1
1)		2 −2 1			4	;	2)	2		1		2	3		2	;	3)	0		2	7		1	;
	4		0	−1	2			0		3		0	1		3			2	10		−1		5
	3		1 −1 4					0		3		0	1		3			−3 −15 −6 13
	3		1 −1 4					3		2		1	3		4			−3 −15 −6 13
								3		2		1	3		4
		3	1	2 4				0		1		2		3				2 3			−1 4
		3	1	2 4				0		1		2		3				2 3			−1 4
4)		0	0 −1 6		;		5)	1		0		1		2	;		6)	1 2			3 5	.
		2	1	3 1				2		1		0		1				−1 2			0 1
		2	−2 3 1					3		2		1		0				5 8			1 1
								Домашние задания
							x2		1		4
							x2		1		4
3.10			Решить уравнение				x	−1			2	= 0 .
							1		1		1

3.11Найти det(AB) и проверить, что det(AB) = det A det B , если

1		2	3		2		0	3
	2 1		1			2 1		1
A =				, B =					.
	1	1	2			4	−3	2

3.12Вычислить определители, разлагая их по элементам ряда:

	2	−1	1	0			2	3	−3	4
	2	−1	1	0			2	3	−3	4
1)	0	1	2	−1	;	2)	2	1	−1	2	.
	3	−1	2	3			6	2	1	0
	3	1	6	1			2	3	0	−5

130

3.13Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:

	2	1	5	1			1	2	3	4
	2	1	5	1			1	2	3	4
1)	3	2	1	2	;	2)	2	3	4 1		.
	1	2	3	−4			3	4	1	2
	1	1	5	1			4	1	2	3
								3		0		−1
3.14		Решить неравенство 1								x +5		2 − x ≤ 4 .

3−1 2

3.15Вычислить определители:

	0	5	2	0			7	3	2	6
	0	5	2	0			7	3	2	6
1)	8	3	5	4	;	2)	8	−9	4	9	.
	7	2	4	1			7	−2	7	3
	0	4	1	0			5	−3	3	4

Ответы: 3.1 1) 13;

2) − 2a 2 ;

3) sin 2x;

4) 2a;

5) ln

3.2 1) 78;

2) 0;

3) sin 2α ; 4) 100;

5) – 6.

3.3 1) 0;

2) 0.

3.4

x = −1;

x = −4 .

3.5

x = −3.

3.6 Прямая

y = 2x − 2 . 3.7 1)

0; 2) 16. 3.8 1)

20; 2) 27.

3.9

1) 38; 2) 168; 3) – 192; 4) 75; 5) – 12; 6) 300. 3.10

x1 = −1, x2 = 2 . 3.11 40. 3.12 1) 0; 2) 48.

3.13 1) 54; 2)

. 3.15 1) 60; 2) 150.

160. 3.14 −∞;−

Занятие 4. Обратная матрица. Решение матричных уравнений Аудиторные задания

4.1Найти матрицы, обратные данным, если они существуют:

						2 −1			3			3		0	1		−3		1	9			0		1	1	1
	−1		2			2 −1			3			3		0	1		−3		1	9				1 0		1	1
1)	−1		2	;	2)		4	2	−5	;	3)		−1	2		4)		−5	−3	8	;	5)		1 0		1	1
1)				;	2)		4	2	−5	;	3)		−1	2	3 .	4)		−5	−3	8	;	5)						.
		−3	5																				1 1			0	1
		−3	5				6	1	− 2				2	4				−4	−1	5			1 1			0	1
							6	1	− 2				2	4	1			−4	−1	5				1	1	1	0
																								1	1	1	0

4.2Найти обратную матрицу, если она существует:

	1	2			1		2			1	1	1			1	2	3
1)	1	2	;	2)	1		2	;	3)			1	;	4)	2	6	4
1)			;	2)				;	3)	1 2		1	;	4)	2	6	4	.

	1	3				3	4				1	2			− 4	−14	−6
										1	1	2			− 4	−14	−6

4.3Решить матричные уравнения:

1)	−1		4	1		−1	;	2)	0		2	−1		2	4		2	;
				X =								X			=
		3	3		−2	3				−1	2		3	2		1	2

131

	1		−1	0	−1		2	−1		6
3)		2	4			−1	4		−1	2
				−1	X +			=			.
		0	1	2		0	5		5	12

4.4Решить матричные уравнения:

1)	−1 1			2		0	;	2)	4		3	1		0	; 3)	1		−1	−5		6	1		−1
1)				X =			;	2)	X			=			; 3)				X			=			.
										−5	− 4		0	1			2	3		− 4	5		2	3
		0	1		−1	3				−5	− 4		0	1			2	3		− 4	5		2	3

4.5Решить матричные уравнения:

	1 2			−3	1		−3	0		1		0	0	0		0	1		1		−2	3			7
1)		3	2	−4		2	2		; 2)		0	2	0		0	2	0	; 3)		2	3		X		0
	X				=			−1		X				=								−1		=		.
		2	−1	0		−1	−2	4			0	0	3		3	0	0			0	−2	1			7

Домашние задания

4.6Найти матрицы, обратные данным, если они существуют:

	3		4			2 5			7		1 2			−3			1		2	3
1)	3		4	;	2)		6	3		3)		3	2	−4	;	4)		4	5	6
1)				;	2)		6	3	4	3)		3	2	−4	;	4)		4	5	6	.
		5	7
		5	7				5	−2				2	−1	0				7	8	9
							5	−2	−3			2	−1	0				7	8	9

4.7Решить матричные уравнения:

					5		3		1			−8 3					0					5			4			1	2			3
						1	−3	−2					−5 9				0				2)	5			4			1	2			3
		1) X				1	−3	−2			=		−5 9				0	;			2)					X	=						;

						−5	2		1				−2 15				0						−1		− 2			−3 − 2			−1
						−5	2		1				−2 15				0
					1 −1		2					−2			1		−1					1		−2 3				1 2			3		1		2 3
		3)			1 −1		2					−2		=	1		−1		;		4)		2		3				4 5		6			4	5 6
		3)					X	−4				5		=					;		4)		2		3	−1		X	4 5		6		=	4	5 6	.
					2 3			−4				5			2		3						0	−2 1					7 8		0			7	8 0
																							0	−2 1					7 8		0			7	8 0
									5			−2																		1			−10		4	−2
Ответы:					4.1		1)		5			−2			;		2)			не	существует;							3)	−	1			7		1	−10	;


										3			−1																	38			−8		−12	6
																																	−8		−12	6
			−7			−14	35								2		−1			−1	−1
		1	−7			−14	35							1		−1 2 −1
		1												1		−1 2 −1					−1
4)	−			−	7 21		−21 ; 5)						−			−1 −1 2							.
4)	−			−	7 21		−21 ; 5)						−	3									.
	49			−	7	−7	14							3							−1
				−	7	−7	14									−1	−1			−1	2
																−1	−1			−1	2
		3			− 2			− 2					1						3		−1		−1
4.2 1)		3			− 2		2)	− 2					1			;	3)			−1	1		0		;	4) не существует.
4.2 1)						;	2)									;	3)			−1	1		0		;	4) не существует.
			−1		1				3/ 2			−1/ 2
			−1		1				3/ 2			−1/ 2								−1	0		1
																				−1	0		1

132

																											5
			11												3			3												3
																														3
																											13
	−			1									−														13
4.3 1)			15									2)			4	4									3)		5
							;													;									−1 .
							;													;									−1 .
			1											−	1	5											13
				0
				0
	15												8					8									30			4
																											30

																										13
4.4 1)	−3			3								2)	4				3								3)	−5			6
4.4 1)				;								2)						;							3)					.
			1											−5													− 4	5
		−	1	3										−5			− 4										− 4	5
	20			−15 13									0			0 1/ 3										6
4.5 1)		−	17	13			−10	;				2)		0		1			0		;				3)		−5
4.5 1)		−	17	13			−10	;				2)		0		1			0		;				3)		−5	.
		−8			5		−4							3		0 0											−3
		−8			5		−4							3		0 0											−3
	7			−4					1			−1			1							−4		3 −2
4.6 1)	7			−4		;		2)		−38		41									3)		−8	6	−5		;	4) не существует.
4.6 1)						;		2)		−38		41		−34 ;							3)		−8	6	−5		;	4) не существует.
		−	5	3
		−	5	3							27	−29 24											−7	5 −4
											27	−29 24											−7	5 −4
																																1	4
																																			1

	1		2	3																										−		7	7
	1		2	3							1	10	4 −2									5/ 2		1							2			1
4.7 1)		4	5	6		;		2)	−		1	10	4 −2								3)	5/ 2		1	;			4)			2		−	1
4.7 1)		4	5	6		;		2)	−								;				3)				;			4)					−		−1 .
																						2		1
		7	8	9							6	−14 −8 −2										2		1							7			7
		7	8	9																											7			7
																															4		−	2	−1
																															7		−		−1
																															7			7

Занятие 5. Решение невырожденных систем линейных уравнений Аудиторные задания

5.1 Убедиться, что система является невырожденной, и решить ее по формулам Крамера и матричным способом:

x + 2y +3z = 5,

1)4x +5y + 6z = 8,7x +8y = 2;

	−2x + 2y − z +7 = 0,
5)		x −3y + z −6 = 0,
		3x + y + 2z −7 = 0.
		3x + y + 2z −7 = 0.
	2x1 −3x2 + x3 = 5,
9)		x + 4x	2	− x = −3,
		1	2	3

	3x1 + 2x2 +3x3 =1.

2x1 −3x2 + x3 = −7, 2) x1 + 2x2 −3x3 =14,− x1 − x2 +5x3 = −18;

3x1 + x2 + x3 = 2,

6)2x2 2x3 = −1, 3x2 − x3 = 5.x1 −4x1 − +

+=1,

10)3x + 2y − z = 9,x −4y +3z = −5.2x − y 2z

		x1 + 2x2 +3x3 = 3,					x1 − 2x2 + x3 = 0,
3)		2x	+ 6x	+ 4x =12,		4)	2x		− x	=1,
		1	2	3				1	2
								+ 2x2		− x3 = 4.
	3x1 +10x2 +8x3 = 21.						3x1	+ 2x2		− x3 = 4.
		2x − y +5z = 4,					x1 + 2x2 =8,
7)		3x − y +5z = 0,				8)	x1 + 2x2 =8,
7)		3x − y +5z = 0,				8)		+ 4x2		=18.
							3x1	+ 4x2		=18.
	5x + 2y +13z = 2.
	7x1 −2x2 −3x3 +3 = 0,
11)		x	+5x	+ x −14 =	0,
		1	2	3

	3x1 + 4x2 + 2x3 −10 = 0.

Домашние задания

5.2 Проверить, являются ли системы невырожденными, и если являются, то решить их матричным методом и по формулам Крамера:

133

	4x1 + 2x2 − x3 = 0,						2x1 − x2 = 5,					2x + y = 5,			x1 + x2 −2x3 = 6,
1)		x	+ 2x	+ x	=1,	2)	x		+ 4x	= 0,	3)	x + 3z =16,		4)	2x		+3x		−7x		=16,
		1	2	3				1	3							1		2		3
			x	− x	= −3.		x	2	+ 2x	= −1.			5y − z =10.			5x		+ 2x	2	+ x	=16.
			2	3				2	3							1			2	3

Ответы: 5.1 1) (–2;2;1); 2) (1;2;–3);								3)	(–3;3;0);		4)	x1 = x2 = x3 =1;	5)	x = 2, y = −1, z =1;
6) x1 =1, x2 = 0, x3 = −1; 7) x = −4, y = −2, z = 2; 8) x1 = 2, x2 = 3; 9)													x1 =1, x2 = −1, x3 = 0;
10) x = 2,	y =1, z = −1; 11) x1 = 0,					x2 = 3, x3 = −1.
5.2 1) x =1, x		2	= −1, x	= 2 ; 2) x = 8		, x	2	= 1	, x = −	2	.; 3)	x =1, y = 3, z = 5 ;

1			3	1	3			3	3	3

4) x1 = 3, x2 =1, x3 = −1.

Занятие 6. Ранг матрицы Аудиторные задания

6.1Найти ранг матрицы:

3		−1	2	2		−1	5	6
1)	4	−3	3 ;	2)	1	1 3		5 .
	1				1	−5	1
	1	3 0			1	−5	1	−3

6.2 Найти ранги матриц с помощью элементарных преобразований или методом окаймляющих миноров и указать какой-либо базисный минор.

	−1 2				4 5					−8 1			−7	−5 −5
1)		2 −1			0 6 ;				2)		−2 1		−3	−1 −1 ;
		2 −4									1 1		−1	1		1
		2 −4			−8 4						1 1		−1	1		1
	3		−1		3	2	5			−1		0		2	4
	3		−1		3	2	5				2	1		3
		5	−3	2		3	4				2	1		3	−1
4)		5	−3	2		3	4	;	5)		1	1		5	3	.
		1	−3		−5	0	−7
		1	−3		−5	0	−7			−4 −2			−6 2
		7	−5		1	4	1			−4 −2			−6 2
		7	−5		1	4	1				0	1		7	7
											0	1		7	7

6.3 При каких значениях λ ранг матрицы равен двум:

1		3	5	−1
	2	−1	−3	4
3)					;
5		1	−1	7
	7	7	9	1

1		3	− 4	λ		2	3
1)	λ 0		1 ;	2)	0	λ − 2 4 ?
	4	3			0	0
			− 3				7

6.4Проверить справедливость неравенств rAB ≤ rA, rAB ≤ rB , если

	1	0	2		0		2	4
	−1	2	3	,		3	−1 5
A=					B =				.
	−3	1	0			2	0	1

134

Домашние задания

6.5Найти ранги матриц и указать какой-нибудь базисный минор.

	2		−1	3			−2		1	−1 3	1			1		2	−1	−2
															0	1	2	3
		4	−2	0				1	0	2 −1	1
1)					;	2)						;	3)	1		2 −1		0	.
		0	0	−6				1	3	11 2	−5
														1		3	1	1
		−4	2	1				−1	4	10 5	−4
															2	5	0	1

6.6Проверить справедливость неравенства rA+B ≤ rA + rB , если

	1		−1	1			1		−1 1
		2	−1	3				2	−2 2
A =		2	−1	3		, B =		2	−2 2			.
		3	−2	4				−1
		3	−2	4				−1	1 −1
Ответы: 6.1 1) 2; 2) 2. 6.2 1)									r = 3,				−1	2	5	; 2) r = 2,		−8	1	; 3)	r = 3,	1	3	−1	;


													2	−1	6							2	−1	−3
													2	−4	4			−2	1			7	7	1
	3		−1	5						−1	0		2	−4	4							7	7	1
4) r = 3,					; 5) r = 2,								. 6.3 1) λ = 3; 2) λ = 0,				λ = 2 . 6.5 1) 2; 2) 3; 3) 3.


	5		−3	4
	7		−5	1						2	1
	7		−5	1

Занятие 7. Решение произвольных и однородных систем линейных уравнений Аудиторные задания

7.1Исследовать системы на совместность и в случае совместности решить их.

	2x − y + z = −2,								2x			+7x				+3x					+ x			= 6,		x1 + 2x2 − x3 + 4x4 + x5 =1,
1)								2)		1					2					3			4		3)	x1 + 2x2 − x3 + 4x4 + x5 =1,
1)	x + 2y +		3z = −1,					2)	3x1			+5x2				+ 2x3 + 2x4 = 4,									3)	2x		−3x		2	+ 2x + x				− x = 3.
			2z = 3.									+ 4x2 + x3 +7x4 = 2.															1			2		3	4		5
	x −3y −		2z = 3.						9x1			+ 4x2 + x3 +7x4 = 2.
									3x1 − x2 + x3 + 2x5 =18,																	x1 − x2 + x3 − x4 = −2,
	x	+ 2x	+ x		−3x	+ x =1,			2x			−5x			2	+ x			4	+ x			= −7,			x1 − x2 + x3 − x4 = −2,
	1	2		3	4		5			1					2				4		5
4)	x	−3x	+ x		−2x	+ x = −3,		5)	x − x				4	+		2x		=			8,				6)	x1	+ 2x2				− 2x3 − x4			= −5,
	1	2		3	4		5		1				4				5		− x			=10,				2x		− x			−3x	+	2x		= −1,
	x	+7x	+ x		−4x	+ x = 5.			2x		2	+ x			+ x			4	− x			=10,					1		2		3		6x	4	= −10.
	1	2		3	4		5				2		3					4			5					x	+ 2x		2		+ 3x	−	6x	4	= −10.
											+ x2 −3x3 + x4 =1.															1			2		3			4
									x1		+ x2 −3x3 + x4 =1.
	x1 −3x2 + 4x3 − x4 = 2,								x1 −5x2 + 3x3 − x4 =1,
7)	2x + 3x		2	+ x + 5x		4	= 3,	8)	2x			−10x				2	+ 3x					4		= 0,
		1	2		3	4				1						2						4
				+ 5x3 + 4x4 = 6.								− 20x2 + 6x3 + x4 = 2.
	3x1 +			+ 5x3 + 4x4 = 6.					4x1			− 20x2 + 6x3 + x4 = 2.

7.2Решить однородную систему и найти фундаментальную систему решений.

x1 + 2x2 − x3 = 0,

3x1 + 2x2 + x3 = 0,

2x1

+ 2x2

− x3 +3x4 = 0,

+ 5x

+ 3x

= 0,

+ 9x

−3x

= 0.

+ x

+3x

− x

= 0.

+ 4x2

+ 2x3

= 0.

3x1

135

		x +4x	2	−3x	3	+6x	4	= 0,		x	+ 2x	2	−3x	3	+ x	4	= 0,		3x		+ x	2	− 2x	3	+ x	4	− x	5	= 0,
4)		1	2		3		4		5)	1		2		3		4		6)		1		2		3		4		5
4)		2x1 +5x2 + x3 −2x4 = 0,							5)	2x1 + 4x2 − x3 − x4 = 0,								6)	6x1 +3x2 + x3 − 2x4 + x5 = 0,
		+7x2 −10x3 +20x4 = 0.															= 0.			+ 2x2			− x3 + x4 + x5 = 0.
	x1	+7x2 −10x3 +20x4 = 0.								3x1 + 6x2 − 4x3							= 0.		x1	+ 2x2			− x3 + x4 + x5 = 0.

7.3Решить системы методом Гаусса:

x +

− x

= −4,

+ x

= 3,

3x − y + 2z = 0,

x + 2y +3z = 6,

x1 + 2x2 −3x3 = 0,

2x1 − x2 + x3 = 2,

4x −3y + 3z = 0,

4x +5y +6z = 9,

− 2x3

=16;

= 5;

x + 3y

= 0;

7x +8y

= −6.

− 2x1

x1 + 4x2 + 2x3

Домашние задания

7.4Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их.

x1 + 2x2 + x3 = −1,

x1 − x2 + 3x3 =1,

+ 3x

=1,

x1 −5x2 + 3x3 − x4 =1,

+3x

+5x = 3,

2x + 3x

− 2x = 2,

3x1 + 4x2 =1,

2x −10x

+ 3x

= 0,

+ 2x

=1,

+5x2

+ 6x3 = 7.

+ 4x3 = 4.

− 20x2 + 6x3 + x4 = 2.

3x1

4x1 + x2

+ 5x

=1.

4x1

7.5Решить системы:

					x		+ 2x					− x				=		0,												3x1				− x2 + 2x3 + x4 = 0,
		1)				1					2		3															2)		3x1				− x2 + 2x3 + x4 = 0,
		1)			3x1 − x2 + 2x3 = 0,																							2)		x		+ 2x			2			−		4x			− 2x		4	= 0.
					4x				+ x		2	+ 3x					= 0.														1				2						3				4
							1				2				3
																																											− 2			10 −5C +C

Ответы: 7.1 1) Система несовместна;																														2)		C −9C																	2									;
																																		1								2		,				1	2	,		C ,C	2	C	, C	2	R
																																		1								2		,						,		C ,C		C	, C		R
																																							11								11					1		1
																																							11								11
	9	−C −14C								2		−C									4C −			7C	2	−3C −1


3)					1								3							1								3																C1, C2, C3 R ;
																	,														, C1, C2									, C3
								7									,								7


4)	−3 −			5C +				13C				−5C							4 +C			2																					;
	−3 −			5C +				13C				−5C							4 +C
						1				2					3 ,								, C ,			C	,	C	3	C		, C		, C				3	R
						1				2					3 ,								, C ,			C	,	C		C		, C		, C					R
							5													5				1		2					1		2
							5													5


5) x1 = 5, x2 = 4, x3 = 3, x4 =1, x5 = 2 ;																																		6) {(C,C +1,C + 2, C +3)																	C R};
5) x1 = 5, x2 = 4, x3 = 3, x4 =1, x5 = 2 ;																																		6) {(C,C +1,C + 2, C +3)																	C R};
																																							3 −5C1 +						25C2 10C2 −							2C1


7) система несовместна;																												8)																			,						C1,C2 R .

																														C1,C2,

																																											9						3
																																											9						3
			3				C
7.2 1)			3				C							C										(3, 1, 5);						2) x			= x						= x				= 0 ;
7.2 1)					C ,				1 ,C					C				R				;		(3, 1, 5);						2) x			= x				2		= x				= 0 ;
			5			1			5			1					1															1					2				3


3)	−7C			−8C			2		, C	,		5C	2 ,		C						C C												−	8		, 0,				5
	−7C			−8C								5C																						8						5
		1															2							R	; (−1,1, 0, 0);																,1 ;
			7						1			7					2				1	2												7						7
			7									7																						7						7

4)−19C1 +38C2 ,3

7C1 −14C2




	C1C2	R ,
,C1, C2	C1C2	R ,

	19		7			38
−		,		, 1, 0				;
−	3	,	2	, 1, 0	,		, −7, 0, 1	;
	3		2			3

136

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3524 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf