Р е ш е н и е . Так как все необходимые величины найдены, то имеем по формуле (7.3):

7.9 Кривизна плоской линии

Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является степень ее искривленности.

Рассмотрим кривую, которая не пересекает саму себя и имеет определенную касательную. Возьмем две точки A и B.

Углом смежности дуги AB называется угол поворота касательной при переходе от точки A к точке B (рис. 7.7).

α

Рис. 7.7

У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол сме ж- ности больше. Однако, степенью искривленности нельзя оценить форму дуги различной длины с одним и тем же углом смежности.

Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных частей (дуг) может быть различна.

Кривизной kA линии в данной точке A называется предел средней кривизны дуги AB, ко-

118

Заметим, что кривизна не может быть отрицательной. Если кривая задана параметрически, то

7.10 Понятие эволюты и эвольвенты

Величина R, обратная кривизне линии в данной точке M, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке, т. е.

Построим в точке M нормаль к кривой, направленной в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок MC, равный радиусу R (рис. 7.8) кривизны кривой l в точке M. Точка C называется центром кривизны данной кривой в точке M, круг радиуса R с цен-

119

тром в точке C (проходящий через точку M) называется кругом кривизны данной кривой в точке M.

Рис. 7.8

Рассмотрим кривую y = f (x). Если в точке M1(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определенный центр кривизны C1(α,β).

Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой. Или: геометрическое место центров кривизны данной линии называется ее эволютой. По отношению к своей эволюте данная линия на-

зывается эвольвентой (инволютой или разверткой).

Теорема (свойство эволюты). Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

7.11Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе

Влюбой точке M(x, y, z) пространственной кривой r = r (t)= = x(t)i + y(t) j + z (t)k можно

построить три взаимно перпендикулярных вектора:

N = [B,T]– направляющий вектор главной нормали к r (t). (7.8)

Определим соответствующие им единичные векторы по формулам:

120

Трехгранник с вершиной в точке M0, ребрами которого служат касательная, главная нормаль,

бинормаль, называется естественным трехгранником или трехгранником Френе. Гранями его являются плоскость соприкасающаяся (проходит через τ, ν ), нормальная (проходит через ν, β), спрямляющая (проходит через β, τ) (рис. 7.9).

Спрямляющая плоскость

Соприкасающаяся плоскость

Заметим, что уравнения касательной могут быть записаны аналогично уравнению (7.2) в виде

121

Уравнение соприкасающейся плоскости:

Bx(x − x0 )+ By (y − y0 )+ Bz (z − z0 )= 0 .(7.14)

Уравнение спрямляющей плоскости:

Кривизна пространственной кривой r (t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k определяется аналогично кривизне плоской кривой и в точке M вычисляется по формуле

П р и м е р 7 .11. Найти единичные векторы τ, β, ν , уравнения касательной, нормали, бинормали, уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, кривизну и

Рис. 7.10

122

Р е ш е н и е . Находим

Находим единичные векторы τ, β, ν :

Записываем уравнения граней трехгранника Френе:

–соприкасающаяся плоскость к винтовой линии в точке M 0;2; 3π :

2

123

уравнения бинормали в точке M: