Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3522 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

7.6 Векторная функция скалярного аргумента

Эта часть высшей математики – приложения дифференциального исчисления к геометрии в пространстве.

О п р е д е л е н и е . Если каждому значению действительной пе-ременной t D R поставлен в соответствие вектор a(t) R3 , то говорят, что на множестве D задана векторфункция a = a(t) действительной переменной t.

Множество D называют областью определения функции a(t).

Задание вектор-функции a = a(t) равносильно заданию трех числовых функций ax (t), a y (t), az (t) – координат вектора a :

a(t)= ax (t) i + a y (t) j + az (t) k

или кратко a(t)= (ax (t),a y (t),az (t)).

Если вектор a является радиусом-вектором точки A(x, y, z), то соответствующую векторфункцию принято обозначать

r = r (t)= x(t) i + y(t) j + z(t) k .

Очевидно, что область определения функций x(t), y(t), z(t) совпадает с D.

При различных значениях t положение конца вектора r (t) будет, вообще говоря, изменяться.

Оп р е д е л е н и е . Годографом вектор-функции r = r (t) называется линия, описываемая

впространстве концом вектора r (t).

Таким образом, всякую линию в пространстве можно рассматривать, как годограф некоторой вектор-функции.

113

Точка O называется полюсом годографа. Выражение r (t)= x(t) i + y(t) j + z(t) k

называют векторно-параметрическим уравнением годографа, а x = x(t), y = y(t), z = z(t)

называют параметрическими уравнениями годографа. П р и м е р 7.6. Найти годограф вектор-функции

r (t)= 3t i +(2t −t2 ) j, t R .

Р е ш е н и е .

x(t)= 3t,

		2
	−t	2	.
y(t)= 2t	−t		.

t = 3x

y = 2 x − x2

3 9


y =	2	x −		x2			1	(x2 −6x +9 −9)= −		1	(x −3)2 +1
						= −	9			9
	3				9	= −	9			9
			1		(x −3)2 , y = −				1			1
y −1 = −			9		(x −3)2 , y = −				9 x2 или		Y = −	9	X2

Годографом является парабола (рис. 7.4).

Рис. 7.4

7.7 Предел, непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента

Предположим, что lim x(t)	= x , lim y(t)= y , lim z(t)= z .
t→t			0 t→t			0 t→t	0
0			0		0
Тогда говорят, что вектор r			= x i	+ y	j + z k		есть предел вектора r	= r (t) и пишут
	0		0	0	0
lim r (t)= r .
0
t→t0
		r (t)− r0
Из последнего равенства lim				= lim		[x(t)− x0 ]2 +[y(t)− y0 ]2 +[z(t)− z0 ]2		= 0 .
Из последнего равенства lim				= lim		[x(t)− x0 ]2 +[y(t)− y0 ]2 +[z(t)− z0 ]2		= 0 .
t→t0				t→t0

114

Это означает, что

lim

r (t)

. Если lim r (t)= r (t ), то векторная функция называется не-

t→t0

прерывной в

точке

t .

Рассмотрим

вектор-функцию r (t)= x(t) i + y(t) j + z(t) k в точке М

(рис. 7.5).

Дадим

приращение

∆t , тогда получим вектор r (t + ∆t)= x(t + ∆t) i +

+y(t + ∆t) j + z (t + ∆t) k , который определяет на кривой некоторую точку М1.

∆r = r(t + ∆t)−r(t)= [x(t + ∆t)− x(t)] i + +[y(t + ∆t)− y(t)] j +[z(t + ∆t)− z(t)] k.

Рассмотрим вектор ∆r , который коллинеарен вектору ∆r . Тогда

∆t

∆r

x(t + ∆t)− x(t)

y(t + ∆t)− y(t)

z(t + ∆t)− z(t)

j +

k .

∆t

Если x(t), y(t), z(t) имеют производные,

то множители, стоящие при i , j,k

тятся в x (t), y

(t), z

(t). Следовательно, в этом случае предел

∆r

при ∆t → 0

′

′ ′

∆t

вен x

, т. е. lim

∆r

(t) i

+ y (t) j

+ z (t) k

= x (t) i

y (t) j

+ z (t) k .

′

∆t→0

∆t

′

при ∆t → 0 обра-

существует и ра-

Рис. 7.5

О п р е д е л е н и е . Вектор, определяемый последним равенством, называется производ-

ной от вектора r (t)

по скалярному аргументу t.

Производную обозначают символом

или r ′

. Итак,

′

= dt

i + dt j + dt k . (7.1)

= x (t) i

+ y (t) j

+ z (t) k или

115

П р и м е р 7 .7. Найти производную вектор-функции r (t)= sin t i + cos2 t j +sin tcost k .

Р е ш е н и е .

′

= dt

+ dt

k , где

x(t)= sin t,

= (sin t)

= cost;

y(t)= cos2 t,

= (cos2 t)′ = −2cost sin t = −sin 2t;

dz =

z (t)= sin t cost = 1 sin 2t,

1 2cos 2t = cos 2t.

Итак,

= cost i −sin 2t

j + cos2t k .

Сгеометрической точки зрения вектор r ′(t) – это вектор, направленный по касательной к годографу функции r (t) в сторону возрастания параметра t.

Смеханической точки зрения r ′(t) есть вектор мгновенной скорости движения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции r (t).

7.8 Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ), имеют вид

x − x0

y − y0

z − z0

Так как вектор s(m,n, p)

коллинеарен

, то в точке (x(t

), y(t

), z(t )) следующие уравне-

ния

x − x(t0 )

y − y(t0 )

z − z(t0 )

(7.2)

t=t

есть уравнения касательной к пространственной кривой x = x(t), y = y(t), z = z (t). П р и м е р 7.8. Написать уравнения касательной к годографу

r (t)= a cost i + a sin t j +bt k в точке t0 = π4 , (это винтовая линия, рис. 7.6).

116

Рис. 7.6

Р е ш е н и е .

= −a sin t;

= a cost;

= b;

x(t0 )

= x

= a cos

= a

;

y(t0 )= y

= a sin

= a

;

= b

;

z(t0 )= z

π = −a sin

−a

;

π = a cos

= a

;

π = b.

Подставив в формулу (7.2), имеем:

x −

y −

z −b

= π .

– уравнения касательной к винтовой линии в точке t

−

Плоскость, проходящая через точку касания M(t0 ) и перпендикулярная к касательной, называентся нормальной плоскостью к кривой в этой точке.

Ее уравнение имеет вид:

	dx(t0 )(x − x		)+ dy(t0 )(y − y )+ dz(t0 )(z − z )= 0 .				(7.3)
	dt	0	dt	0	dt	0
	dt		dt		dt
	П р и м е р 7 .9.		Написать уравнение нормальной плоскости к винтовой линии
	П р и м е р 7 .9.		Написать уравнение нормальной плоскости к винтовой линии
r (t)= a cost i + a sin t			j +bt k в точке t		= π (см. предыдущий пример).
				0	4
					4
						117

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3522 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf