- •1 ПЕРЕЧЕНЬ МАТЕРИАЛОВ
- •2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
- •3 ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ ПО РАБОТЕ НАД ДИСЦИПЛИНОЙ «МАТЕМАТИКА»
- •4.2 Определители. Миноры и алгебраические дополнения
- •4.3 Обратная матрица
- •4.4 Ранг матрицы
- •4.6 Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса
- •4.7 Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение векторов. Координаты вектора
- •4.8 Скалярное произведение векторов
- •4.9 Векторное произведение векторов
- •4.10 Смешанное произведение векторов
- •4.11 Полярная система координат. Уравнение линии на плоскости
- •4.11.1 Полярная система координат
- •4.11.2 Уравнение линии на плоскости
- •4.12 Прямая на плоскости
- •4.12.1 Различные виды уравнений прямой
- •4.12.2 Взаимное расположение прямых на плоскости
- •4.13 Плоскость в пространстве
- •4.13.1 Различные виды уравнения плоскости
- •4.13.2 Взаимное расположение плоскостей
- •4.14 Прямая в пространстве
- •4.14.1 Различные уравнения прямой в пространстве
- •4.14.2 Взаимное расположение прямых в пространстве
- •4.15 Прямая и плоскость в пространстве
- •4.16 Кривые второго порядка
- •4.16.1 Окружность
- •4.16.2 Эллипс
- •4.16.3 Гипербола
- •4.16.4 Парабола
- •4.17 Поверхности второго порядка
- •4.17.1 Цилиндры и конусы
- •4.17.2 Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •5 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •5.1 Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Функция и предел функции
- •5.2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых
- •6.2 Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Таблица производных
- •6.3 Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование
- •6.4 Производные функций, заданных неявно и параметрически
- •6.5 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •6.6 Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.7 Приложения теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя
- •6.8 Формула Тейлора и ее приложения
- •7 ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
- •7.1 Возрастание и убывание функции. Точки экстремума функции
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •7.3 Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •7.4 Асимптоты графика функции
- •7.5 Общая схема исследования функции и построения графика
- •7.6 Векторная функция скалярного аргумента
- •7.7 Предел, непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента
- •7.8 Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой
- •7.9 Кривизна плоской линии
- •7.10 Понятие эволюты и эвольвенты
- •7.11 Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе
- •ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ. ЧАСТЬ I
- •Занятие 2. Матрицы и действия над ними
- •Занятие 8. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов
- •Занятие 9. Векторное и смешанное произведения векторов
- •Занятие 10. Прямая на плоскости
- •Занятие 12. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве
- •Занятие 13. Кривые второго порядка на плоскости
- •Занятие 20. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Дифференциал функции
- •Занятие 24. Монотонность функций. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функций. Выпуклость и вогнутость графиков функций
- •РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
- •Контрольная работа «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»
- •Контрольная работа «Предел функции. Непрерывность и дифференцируемость функции»
- •ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ
- •Программа дисциплины
- •Экзаменационные вопросы для студентов 1 курса (1 семестр)
- •Перечень учебно-методических пособий
Таким образом, область определения функции y = f (x) разбивается на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости (вогнутости). Каждый из этих интервалов
ограничен точками, в которых f (x)= 0 или f |
(x) не существует. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
′′ |
|
||
|
|
П р и м е р 7 .3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика |
||||||||
|
|
||||||||||
функции y = ln(1+ x2 ). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим y′ = |
2x |
|
, y′′ = |
2 − 2x2 |
2(1− x)(1+ x) |
. Критическими точками второй производ- |
|||
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||
1+ x2 |
(1+ x2 )2 |
(1+ x2 )2 |
|
|
|||||||
ной являются точки |
x1 =1, x2 = −1. Эти точки разбивают область определения функции на 3 |
||||||||||
интервала, на каждом из которых сохраняется направление вогнутости или выпуклости. Определим знаки второй производной на этих интервалах, характер точек x1 =1, x2 = −1.
Таким образом, на (−∞,−1) (1,+∞) – функция выпукла; на (−1,1) – функция вогнута; точки
M1(1,ln 2),M2 (−1,ln 2) |
– точки перегиба графика функции. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4 Асимптоты графика функции |
|
||||
О п р е д е л е н и е . |
Прямая l называется асимптотой графика функции y = f (x), |
если |
|||||||||||
расстояние от точки M(x, f (x)) графика функции до прямой l |
стремится к нулю при неогра- |
||||||||||||
ниченном удалении точки M от начала координат. |
|
|
|||||||||||
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. |
|
||||||||||||
Прямая x = a |
является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если хотя |
||||||||||||
бы один из односторонних пределов |
lim f (x) |
равен бесконечности. В этом случае точка |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a±0 |
|
|
|
x = a является точкой разрыва 2-го рода функции y = f (x). |
|
|
|||||||||||
Так, |
|
например, |
кривая y = |
1 |
имеет |
вертикальную |
асимптоту x = 2 , так |
как |
|||||
|
x − 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
= −∞, |
lim |
1 |
|
= +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→2−0 x − 2 |
|
x→2+0 x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Для существования наклонной асимптоты y = kx +b необходимо и достаточно сущест-
вование двух пределов lim |
f (x) |
= k, lim (f (x)− kx)= b . |
|
x |
|||
x→+∞ |
x→±∞ |
||
или x→−∞ |
|
109
Если в уравнении y = kx +b коэффициент k равен нулю, то имеем горизонтальную асим-
птоту y = b .
Заметим, что не всегда прямая, являющаяся асимптотой графика функции при x → +∞ , будет являтся асимптотой того же графика при x → −∞ . Поэтому при от ыскании наклонных асимптот нужно отдельно исследовать случаи при x → +∞ и x → −∞ .
П р и м е р 7 .4. Найти асимптоты графика функции y = x22x−31 .
Р е ш е н и е . Прямые x =1, x = −1 являются вертикальными асимптотами графика функции, так как
lim |
2x3 |
= +∞, |
lim |
|
2x3 |
= −∞, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→1+0 x2 −1 |
|
|
x→1−0 x2 −1 |
|
|
|
||||||||
lim |
|
2x3 |
|
|
= −∞, |
lim |
|
2x3 |
= +∞. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→−1−0 x2 −1 |
|
x→−1+0 x2 −1 |
|
|||||||||||
Следует отметить, что точки x =1, x = −1 являются точками разрыва 2-го рода функции
y = x22x−31 .
Наклонную асимптоту ищем в виде: y = kx +b ,
k |
= |
lim |
f (x) |
= lim |
|
|
|
2x2 |
|
= 2, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→±∞ |
x |
x→±∞ x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
|
|
||
b = |
lim (f (x)−kx)= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
−2x |
= |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
lim |
(2x3 −2x3 + 2x) |
== |
|
lim |
|
|
2x |
= 0. |
|||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→±∞ |
|
−1 |
|
|
|
|
x→±∞ x2 |
−1 |
|
|
|||||||||
Следовательно, прямая y = 2x – наклонная асимптота.
7.5 Общая схема исследования функции и построения графика
Исследование функции и построение ее графика удобно выполнять по следующей схеме.
1.Найти область определения функции.
2.Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
4.Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные).
5.Исследовать функцию с помощью первой призводной: установить интервалы монотонности функции, найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.
110
6.Исследовать функцию с помощью второй призводной: определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
7.Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участков кривой можно вычислить координаты несколь-
ких дополнительных точек |
(в частности, |
координаты точек пересечения графика |
|||||||||
с осями координат). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
П р и м е р 7 |
.5. Исследовать функцию y = |
x2 − x +1 |
|
и построить ее график. |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
||
|
|
Р е ш е н и е . |
Областью |
определения |
функции |
является |
совокупность интервалов |
||||
(−∞,1) (1,+∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Функция общего вида, т. к. f (− x)≠ f (x) |
|
и |
f (− x)≠ − f (x). |
Функция не периодическая. |
|||||
Функция не определена при x =1. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки.
lim |
x2 − x +1 |
= −∞, |
lim |
x2 − x +1 |
= +∞. |
|||
x −1 |
|
x −1 |
|
|||||
x→1−0 |
|
x→1+0 |
|
|||||
Следовательно, x =1 – точка разрыва 2-го рода, а, значит, прямая x =1 является вертикальной асимптотой. Найдем наклонную асимптоту y = kx +b .
|
|
|
f (x) |
|
|
x2 − x +1 |
∞ |
|
|
|
1− |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
k = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
=, lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −1)x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→∞ x |
|
|
x→∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
x→∞ |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− x +1 |
|
|
|
|
|
x2 |
− x +1− x2 + x |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
b = lim (f (x)− kx)= |
lim |
|
|
|
|
|
− x |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
= 0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
x→∞ x −1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y = x – наклонная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
− x +1 |
′ |
|
(2x −1)(x −1)− (x |
2 |
− x +1) |
|
|
|
|
x |
2 |
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
. Решаем уравнение y′ = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
Находим y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 − 2x |
= 0 при |
x = 0, x = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажем интервалы монотонности.
111
На (−∞,0) (2,+∞) – функция возрастает, на (0,1) (1,2) – функция убывает. Тогда x = 0 – точка максимума, y(0)= −1; x = 2 – точка минимума, y(2)= 3 . Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
|
|
|
x |
2 |
− 2x |
′ |
|
|
2 |
− 2(x −1)(x |
2 |
− 2x) |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
(2x − 2)(x −1) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
= |
(x |
2 |
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
= |
|
|
||
|
|
|
−1) |
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
2(x −1)((x −1)2 − x2 + 2x) |
= 2(x2 − 2x +1− x2 + 2x)= |
2 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(x −1)4 |
|
|
|
(x −1)3 |
|
|
|
(x −1)3 |
|
||
Находим критические точки второй производной.
y′′ не обращается в ноль, но в точке x =1 y′′ не существует (хотя в этой точке функция не определена).
Точек перегиба нет. Точки пересечения с осью Ox найдем из урав-нения f (x)= 0 , а точки
пересечения с Oy получим при x = 0 : |
|
|
||
|
x2 − x +1 |
= 0 x2 − x +1 ≠ 0 , т. к. D |
< 0 . А |
f (0)= −1, значит, (0,−1) – точка пересечения с |
|
|
|||
|
x −1 |
|
|
|
осью Oy. |
|
|
||
Строим график функции (рис. 7.3). |
|
|
||
Рис. 7.3
112