7 ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

Одним изважнейших приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графиков функций.

7.1 Возрастание и убывание функции. Точки экстремума функции

вале.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Определим условия постоянства функции.

Теорема 2 (необходимое и достаточное условия постоянства функции). Функция

Функция f (x) имеет в точке x0 минимум (локальный минимум) (максимум), если существует δ-окрестность точки x0 ( x0 −δ, x0 + δ ) такая, что для всякой точки x ≠ x0 из этой окрестности выполня-ется неравенство f (x)> f (x0 ) (или f (x)< f (x0 )). Точки минимума и максимума функции f (x) называются ее точками экстремума, а значения функции f (x) в этих точках называются экстремумами функции.

Сформулируем условия существования экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если x0 – точка экстремума функции f (x), то в этой точке f ′(x0 )= 0 или f ′(x0 ) не существует.

Точка x0 , в которой f ′(x) обращается в ноль или f ′(x) не существует, называется крити-

ческой точкой функции f (x).

105

Теорема 4 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дифферен-

цируема в некоторой окрестности ( x0 −δ, x0 + δ ) критической точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 и при переходе через нее (слева направо) производная f ′(x) меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; если f ′(x) меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума функции f (x). Если же f ′(x) сохраняет знак при переходе через точку x0 , то x0 не является точкой экстремума функции.

Теорема 5 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды

дифференцируема в критической точке x0 и в некоторой ее окрестности ( x0 −δ, x0 + δ ). Тогда, если f ′′(x0 )< 0 , то x0 – точка максимума функции f (x), если f ′′(x0 )> 0, то x0 –

точка минимума f (x). Если же f ′′(x0 )= 0, то требуются дополнительные исследования.

Отметим, что в точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox.

На рис. 7.1 приведены примеры экстремумов функции.

– не существует касательная

Рис. 7.1

Р е ш е н и е . Область определения этой функции: (−∞,0) (0,+∞). Найдем производную:

дит в область определения функции). Эти точки разбивают область определения функции на

106

интервалы монотонности. Исследуем знаки производной y′ на этих интервалах, укажем вид интервалов монотонности функции, характер критических точек.

Следовательно, (−∞,−1) (0,1) – функция возрастает, (−1,0) (1,+∞) – функция убывает, x = −1, x =1 – точки максимума функции, y(1)= y(−1)=1 – максимумы функции. Точек минимума нет.

7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b]. Такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке. Эти значения функция может принимать либо во внутренних точках (тогда это критические точки функции), либо на границе отрезка

[a,b].

Получаем следующую схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непре-

2.Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка

[a,b].

3.Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

107

7.3 Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

О п р е д е л е н и е . График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если дуга кривой на этом интервале расположена ниже (выше) всякой касательной, проведенной к графику функции y = f (x) на (a,b).

О п р е д е л е н и е . Точка (x0 , f (x0 )), при переходе через которую направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба графика функции y = f (x).

На рис. 7.2 график функции y = f (x) на интервале (a, x0 ) – вогнутый, на интервале (x0 ,b) – выпуклый, а точка M(x0 , f (x0 )) является точкой перегиба графика.

касательная

. выпуклый

вогнутый

касательная

108