4.2 Определители. Миноры и алгебраические дополнения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 352 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Заметим, что и произведение B A существует:

−1		0	−2	4	3		2		−4	−3
	2							−7	26	0	, причем A B ≠ B A .
B A =		−3					=
				−6	2
	4		1					−3 −14		22
		5
			4.2 Определители. Миноры и алгебраические дополнения
Каждой		квадратной				матрице A				порядка n можно поставить в соответствие число

det A( A или ∆), которое называется ее определителем. Рассмотрим определители 1-го, 2-го и

3-го порядков.

Пусть n =1,

A= (a11 ). Определитель det A = a11 .

Пусть n = 2,

. Определитель второго порядка

a21

det A=

a11

a12

= a11 a22 − a12 a21 .

(4.4)

a21

a22

Вычисление определителя 2-го порядка изображается схемой:

•

−

•

произведение

элементов

главной

побочной

диагонали

3. Пусть n =3, A

. Определитель третьего порядка

= a

a22

a23

a32

a31

a11

a12

a13

det A =

a21

a22

a23

= a11a22a33 + a21a32a13

(4.5)

a31

a32

a33

+ a12a23a31 − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 .

Определители третьего порядка обычно вычисляются с использованием правила треугольников (или правила Саррюса). Суть его в том, что определитель в (4.5) состоит из трех слагаемых, взятых со знаком «+» по схеме (рис. 4.1, а) и трех слагаемых, взятых со знаком «–» по схеме (рис. 4.1, б).




(+)						(–)
а						б
	Рис. 4.1
П р и м е р 4.3. Найти определитель матрицы		A =	21	3
П р и м е р 4.3. Найти определитель матрицы		A =			.
			− 2	4
			− 2	4
Р е ш е н и е . По формуле (4.4) имеем: det A =		21	3	= 21 4 − (− 2) 3 = 84 + 6 = 90 .
Р е ш е н и е . По формуле (4.4) имеем: det A =		21	3	= 21 4 − (− 2) 3 = 84 + 6 = 90 .
		− 2	4
			− 2	1	−3
П р и м е р 4.4. Найти определитель матрицы		A =	7	2	−1
П р и м е р 4.4. Найти определитель матрицы		A =	7	2	−1	.
			5	4	6
			5	4	6

Р е ш е н и е . По формуле (4.5) имеем: det A = (−2) 2 6 +7 4 (−3)+1 (−1) 5 −5 2 (−3)−

−7 1 6 −4 (−1) (−2)= −133 .

Пусть дана квадратная матрица 4-го порядка n = 4 . Выберем в ней произвольно s строк и s столбцов (1≤ s ≤ n ). Элементы, стоящие на пересечении s строк и s столбцов, образуют матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s и обозначается M. Оставшиеся элементы матрицы образуют определитель, который называется дополнительным к минору M и обозначается через M′. Так, например, для матрицы

a	a	a	a
11	12	13	14
a	a	a	a	при s = 2	выберем вторую и третью строки, первый и четвертый
A = a21	a22	a23	a24	при s = 2	выберем вторую и третью строки, первый и четвертый
31	32	33	34
	a42	a43
a41	a42	a43	a44

столбец. Тогда минором второго порядка будет определитель M =					a21	a24	, а дополнитель-
					a21	a24	, а дополнитель-
					a	a
					31	34
ным минором будет определитель	M′ =	a12	a13	.
		a12	a13
		a42	a43

Каждый элемент матрицы 4-го порядка является минором первого порядка. Дополнительный минор является определителем 3-го порядка, обозначаемый Mij , соответствующий эле-

менту aij .

	О п р е д е л е н и е .		Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется дополни-
тельный минор Mij , умноженный на (−1)i+ j							, т. е.

			Aij = (−1)i+ j Mij .				(4.6)
			Aij = (−1)i+ j Mij .				(4.6)


	Тогда будем считать по определению, что определитель матрицы четвертого порядка

		a11	a12	a13	a14
		a11	a12	a13	a14
	det A =	a21	a22	a23	a24	=
	det A =	a31	a32	a33	a34	=	(4.7)
		a31	a32	a33	a34		(4.7)
		a41	a42	a43	a44
	= ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + ai4 Ai4 , i =
	= ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + ai4 Ai4 , i =							1,4.

Формула (4.7) называется разложением определителя четвертого порядка по элемен-

там i-й строки. Можно показать, что

det A= a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j + a4 j A4 j , j =		(4.8)
det A= a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j + a4 j A4 j , j =	1,4	(4.8)

(разложение определителя по элементам j-го столбца). Аналогично можно ввести пон я-

тие определителя n-го порядка.

Назовем строки и столбцы матрицы ее рядами.

Теорема (о разложении определителя по элементам ряда). Определитель квадрат-

ной матрицы порядка n (n >1) равен сумме произведений элементов некоторого ряда на их алгебраические дополнения, т. е. справедлива формула

a11

a12

a1n

det A=

a21

a22 a2n

= ∑aik Aik = ∑akj Akj (i =

1,n

, j =

1,n

). (4.9)

k=1

an1

an2 ann

Для n = 3 и i =1 формула (4.9) примет вид

a11

a12

a13

det A=

a21

a22

a23

= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 , (4.10)

a31

a32

a33

где

= (−1)1+1 M

= (−1)1+1

a22 a23

a32

a33

= (−1)1+2 M

= (−1)1+2

a21 a23

a31

a33

= (−1)1+3 M

= (−1)1+3

a21 a22

a31

a32

Приведем некоторые свойства определителей:

1) Определитель матрицы

равен определителю транспонированной матрицы, т. е.

det A= det AT .

2)Если поменять местами два столбца (две строки) определителя, то он изменит знак на противоположный.

3)Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю.

4)Определитель, имеющий два одинаковых параллельных ряда, равен нулю.

5)Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя.

6)Если соответствующие элементы двух параллельных рядов определителя пропорциональны, то он равен нулю.

7)Если к элементам одного ряда определителя прибавить элементы другого параллельно-

го ряда, умноженные на число λ R , то величина определителя не изменится.

												1	−1	0
	П р и м е р 4.5. Вычислить определитель матрицы											−2	3	4
	П р и м е р 4.5. Вычислить определитель матрицы									A =		−2	3	4	, разложив его по элеме н-
												1	2	2
												1	2	2
там первой строки.
	Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой (4.10): det A =											1	−1		0	=1 A11 + (−1) A12 + 0 A13 ,
												1	−1		0
											− 2		3		4
												1	2		2
	где
	A	= (−1)1+1	3 4				= 3 2 − 4 2 = −2;
	A	= (−1)1+1	3 4				= 3 2 − 4 2 = −2;
11			2			2
			2			2
	A	= (−1)1+2			− 2		4		= −(− 2 2 − 4 1)= 8;
	A	= (−1)1+2			− 2		4		= −(− 2 2 − 4 1)= 8;
12					1	2
					1	2
	A	= (−1)1+3		− 2			3	= −2 2 −3 1 = −7.
	A	= (−1)1+3		− 2			3	= −2 2 −3 1 = −7.
13				1		2
				1		2

det A =1 (− 2)+ (−1) 8 + 0 (−7)= −2 −8 = −10.

Заметим, что A13 можно было и не вычислять, т. к. a13 = 0 .

<<< < Предыдущая 12 / 352 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf