Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

(здесь дважды использован предел lim sin x =1).

x→0

sin x

−

Поскольку lim

(ln y)= −

= e

то lim y = lim

6 .

x→0

6.8 Формула Тейлора и ее приложения

f (x) дифференцируема (n +1)

Если функция

раз в окрестности U (x0 ) точки x0 , то для лю-

бого x U (x0 ) имеет место формула Тейлора n-го порядка:

f (x)= f (x )+

f ′(x0 )

(x − x )+

f ′′(x0 )

(x − x )2

+ ...+

f (n)(x0 )

− x

)n + R (x),

f (n+1)(x +θ(x − x

))

n+1

где R

(x)=

(x − x )

, 0 < θ <1

– остаточный член в форме Лагранжа.

(n +1)!

Приведем разложения некоторых функций по формуле Тейлора при x = 0 , которые назы-

ваются формулами Маклорена:

=1+

+ +

+ R

(x),

(x)=

eθx

xn+1

(n +

1)!

sin x =

−

− +(−1)n+1

x2n−1

+ R

(x);

(2n −1)!

x2n+1

(x)= (−1)

cos(θx)

;

(2n +1)!

(x);

cos x =1−

+ +(−1)

+ R

(2n)

2n+1

n+1

x2n+2

(x)

= (−1)

cos(θx)

;

(2n + 2)!

2n+1

ln(1+ x)= x −

− +(−1)n+1

+ R (x);

xn+1

R (x)= (−1)

;

(n +1) (1+θx)n+1

(1+ x)α =1+ α x + α(α −1)x2 + +				α(α −1) (α −n +1)	xn + R (x);
(1+ x)α =1+ α x + α(α −1)x2 + +					xn + R (x);
		1!	2!	n!	n
		1!	2!	n!
R	(x)=	α(α −1)(α −2) (α −n)xn+1(1+θx)α−n−1 ; 0 < θ <1.
n			(n +1)!
n

102

Остаточный

член формулы

Тейлора может

быть

представлен

в форме

Пеано:

Rn (x)= 0 (

x − x0

n )при x → x0 .

П р и м е р 6.23. Разложить многочлен f (x)= x4 −2x2 +13x +9 по степеням двучлена x + 2.

Р е ш е н и е .

Поскольку f (x)

– многочлен 4-й степени, то

f (5)(x)= 0 и формула Тейлора

при x0 = −2 имеет вид

f (x)= f (−2)+

f ′(−2)

(x + 2)+

f ′′(−2)

(x + 2)2 + +

f ′′′(−2)

(x + 2)3 +

f IV (−2)

(x + 2)4 .

Подставляя

в эту

формулу значения

f (−2)= −9,

f (−2)

−4x +13)

=−2 = −11,

= (4x

′

(−2)

= (12x

−4)

x0 =−2 = 44,

f (−2)= 24x

x0 =−2 = −48,

(−2)=

24,

получим

′′

′′′

f (x)= −9 −11(x + 2)+ 22(x + 2)−8(x + 2)3 +(x + 2)4.

П р и м е р 6.24. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции f (x)=10x в точке

x0 = 0.

Р е ш е н и е . Имеем:

f (x)=10x; f ′(x)=10x ln10; f ′′(x)=10x ln2 10; f ′′′(x)=10x ln3 10; f (IV)(x)=10x ln410; f (0)=1; f ′(0)= ln10, f ′′(0)= ln210,

f ′′′(0)= ln3 10, f (IV)(θx)=10θx ln4 10.

По формуле Тейлора получаем

10x =1+(ln10)x + ln2 10 x2	+ ln3 10 x3	+	10θx ln4 10 x4	, 0	< θ <1.
2!	3!		4!
П р и м е р 6.25. Вывести приближенную формулу sin x ≈ x −						x3	и оценить ее точность при
П р и м е р 6.25. Вывести приближенную формулу sin x ≈ x −							и оценить ее точность при
					6

x< 0,05.

Ре ш е н и е . Запишем формулу Тейлора 4-го порядка для функции sin x в точке x0 = 0 :

sin x = x −

+ R (x),

где

R (x)= cosθx x5

, 0 < θ <1.

При

< 0,05

имеем ∆ =

R (x)

≤

cosθx

≤

(0,05)5

< 3 10−9 .

Поэтому sin x ≈ x −

с точностью ∆ < 3 10−9 .

П р и м е р 6.26. Вычислить e0,2 с точностью до 10−3 .

Р е ш е н и е . Формула Тейлора для функции ex

имеет вид

103

ex =1+

+ +

+ R (x),

где

R (x)=

xn+1

eθx, 0 < θ <1.

(n +1)!

Полагая x = 0,2, получим e0,2 =1+

0,2

0,22

+ +

0,2n

+R (0,2),

где R (0,2)

0,2n+1

e0,2θ,

0 < θ <1.

(n +1)!

Так как 0 < θ <1; 2 < e < 3; 1< e0,2θ < 3,

то R (0,2)< 3

0,2n+1

(n +1)!

Определим наименьшее значение n так, чтобы выполнялось неравенство R (0,2)

<10−3 .

Если

n = 2, то

R <3

0,23

≈ 0,0013,

если

n =3,

то R <

0,24

≈ ≈ 0,00018 <10−3. Поэтому

e0,2 ≈1+

0,2

+ 0,22 +

0,23 =

1,221 с точностью до 10−3 .

−

П р и м е р 6.27. Вычислить lim

−cos x

x3 sin x

x→0

Используем формулу Тейлора с остаточными членами в форме Пеано:

sin x = x +0(x),cos x =1

−

+0(x5 ),ez =1+ z +

+0(z3 ). .

Из последней формулы при z = − x22 получим

e−

+ 0(x6 ).

=1−

Искомый предел может быть переписан в виде

e−

−

+ 0(x6 )−1+

−

+ 0(x5 )

−cos x

lim

= lim

x3 sin x

x4 + 0(x4 )

x→0

−

0(x5 )

0(x6 )

= lim

−

x→0

0(x4 )

8 24 12

(поскольку

0(x5 )→ 0,

0(x6 )

→ 0 при x → 0 ).

104

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf