6.5 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция

y = f (x)

дифференцируема в

точке

x0 (a; b) .

Тогда lim

∆y(x0 )= f ′(x0 ) и

∆x→0

∆x

∆y(x0 )= f ′(x0 )+ α(x),

где

α(x)→0 при ∆x →0 .

Из

последнего

равенства

получаем, что

∆x

∆y(x0 )= f ′(x0 ) ∆x + α(x) ∆x .

О п р е д е л е н и е . Произведение f ′(x0 ) ∆x ,

являющееся главной линейной частью при-

ращения функции, называется дифференциалом функции

y = f (x)

в точке

x0 , соответст-

вующим приращению

∆x

и обозначается dy = f ′(x0 ) ∆x ,

а для

произвольной точки x

dy = f (x) ∆x . Дифференциал независимой переменной x будет равен dx =1 ∆x, поэтому

′

dy

′

(6.7)

= f (x) dx.

Р е ш е н и е .

Находим

производную

x ′

1

1

,

тогда

f (x)= arcsin

=

′

3

3

1

−

x2

9

dy =

1

dx =

1

dx .

x2

9 − x2

3

1

−

9

ной к графику функции y = f (x) (рис.

6.3) в точке M0 (x0 , y0 )

при приращении аргумента,

равном ∆x . Это следует из того, что

AB

= f ′(x0 )= tg α , тогда

AB = f ′(x0 )∆x = dy . Здесь AB –

∆x

6.6 Производные и дифференциалы высших порядков

Производной второго порядка функции y = f (x)

называется производная от ее производ-

ной y′ = f ′(x) , т. е.

y′′ =

d 2 y

=

(y′)′. Аналогично определяются производные более высоких по-

dx2

′′′

′′ ′

(n)

= (y

(n−1) ′

рядков y

= (y ) , , y

) .

Дифференциалы высших порядков функции

y = f (x) (x – независимая переменная) вы-

числяются по формулам

d

2

′′

2

, , d

n

y = y

(n)

(dx)

n

.

y = y

(dx)

Если функция

y = y(x)

задана параметрически соотношениями x = x(t), y = y(t) , причем

x (t) ≠ 0 , то ее первая yx

и вторая yxx

производные находятся по формулам:

′

′

′′

y′

=

yt′

,

y′′

=

(y′ )′

=

(y′x)′t

; или

(6.9)

′

x

xx

x x

′

xt

xt

′

′

yt

′

′′

′

′′

′

x

′′

t

t

=

ytt xt

− xtt

yt

.

(6.10)

yxx =

′

′

3

x

t

(xt )

Р е ш е н и е .

1

2

2 3

3!

, , y(n) = (−1)n

n!

y′ = −

;

y′′ =

;

y′′′ = −

x4

= −

.

x2

x3

x4

xn+1

y

arctg

уравнением

x2

+ y2

= e

x .

Р е ш е н и е .

По

правилу дифференцирования

функции,

заданной неявно, получаем:

arctg

y

y

′

x

′

arctg

x + yy

= e

(y x − y) . Отсюда, используя равенство e

x =

x2 + y2 , имеем:

x2 + y2

x2 + y2

′

′

x + yy

y x − y

′

′

x2 + y2

=

x2 + y2 или

x + yy

= y x − y .

y′′ =

(1+ y′)(x − y) −(1− y′)(x + y)

=

x − y + xy′− yy′− x − y + xy′

+

(x − y)2

(x − y)2

2(x

x + y

− y)

yy′

2xy′−2y

2(x2 + y2 )

+

=

=

x − y

=

.

(x − y)2

(x − y)2

(x − y)2

(x − y)3

y = ln t, x = t2 , t (0;+∞).

1

′

1

Р е ш е н и е .

′

1

′

′

yt′

1

′′

(y′x)′t

2t2

t

− t3

1

yt

=

t

,

xt

= 2t,

yx = ′

=

2t

2 ,

yxx = ′

=

2t

=

2t

= −

2t

4 .

xt

xt

Теорема Ролля.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на

интервале (a; b) и

f (a)= f (b), то существует хотя бы одна точка ξ (a;b) такая, что

f (ξ)= 0 .

′

f (b)− f (a)

f

′

=

(ξ)

(формула Коши).

(6.12)

g(b)− g(a)

′

g (ξ)