Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Рассмотрим задачу о скорости неравномерного прямолинейного движения. Неравномерное прямолинейное движение точки M осуществляется по закону x = f (t), где x = OM – дли-

на пути, f (t)

– заданная функция времени t. Пусть в момент времени t0

точка M занимала

положение

M0.

За

промежуток

времени

∆t = t −t0

пройден

путь

M0M = ∆x = f (t0 + ∆t)− f (t0 )= ∆f (t0 ). Средней скоростью vñð

за промежуток времени ∆t назы-

вают

отношение

приращения

пути

∆x

к соответствующему приращению

времени

∆t : v

= ∆x

. Скоростью точки M в данный момент времени t (мгновенной скоростью) назы-

ñð

∆t

вают предел средней скорости при ∆x → 0 :

v =

lim

= lim

∆x

или v = lim

f (t0 + ∆t)− f (t0 )

∆t

∆t→0

ñð

∆t→0

∆t

Таким образом, мгновенная скорость определена как предел отношения приращения пути к приращению времени при ∆t → 0 .

Из определения производной и последней формулы следует, что эта формула выражает физический смысл производной:

скорость движения точки в момент времени t0 равна произвоной от пути по времени при t = t0 .

6.2 Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Таблица производных

О п р е д е л е н и е . Дифференцированием функции называют операцию нахождения производной функции.

Основные правила дифференцирования указывают, как найти производную суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций.

Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

1)C' = 0;

2)(Cu)'= Cu' ;

3)(u ±v)'= u'±v' ;

4)(u v)'= u'v +v'u ;

5)u ' = u'v −2 uv' , (v ≠ 0) .v v

Теорема (производная сложной функции). Если функция u = u(x) дифференцируема в

точке х, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u = u(x), то сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна

y'(x) = f 'u (u) u'(x) или y′x = fu′ u′x .

Приведем таблицу производных основных элементарных функций.

1. (uα)'=αuα−1 u', α ≠ 0; (в частности, (u )′ = 21u u′;

2.(au )'= au ln a u';

3.(eu )'= eu u';

4.(loga u)'= u 1ln a u';

5.(ln u)'= u1 u';

6.(sin u)'= cosu u';

7.(cosu)'= −sin u u';

8.( tg u)'= cos12 u u';

9.(ctgu)'= − sin12 u u';

10.

(arcsinu)'=

u';

(arccosu)'= −

1−u2

11.

(arctgu)'=

u';

(arcctgu)'= −

u';

1+u2

12.(sh u)'= ch u u';

13.(ch u)'= sh u u';

14. (th u)'=	1	u'; (cth u)'= −	1	u'.
	ch2 u		sh2 u

1	′		1	u′)
		= −
			u2
u

u';

П р и м е р 6 .1. Найти производные функций:

tg3 x

а) y = x2 −3x + 4 ; б) y = 3x cos2 5x ; в) y = log8 e7x4 .

Р е ш е н и е . Используя правила дифференцирования, терему о производной сложной функции и таблицу производных, получим:

			(x2		1	′		1
а) y′ =			(x2	−3x + 4)2			= 12 (x2 −3x + 4)2 −1 (x2 −3x + 4)′ =

	1			−	1				2x −3
=		(x2 −3x + 4)			2 (2x		−3 + 0)=			;
=	2	(x2 −3x + 4)			2 (2x		−3 + 0)=	2	(x2 −3x + 4)	;

б) используем производную произведения:

y′ = 3x ′ cos2 5x +3x (cos2 5x)′ = 3x ln3 (x)′ cos2 5x +

+3x 2cos5x (cos5x)′ = 3x ln3 2 1x cos2 5x +

+3x 2cos5x (−sin 5x) 5 = 2ln3x 3x cos2 5x −5 3x sin10x;

в) используем правило для производной частного:

tg3

′

x ′

′

3 x

log8 e

−

log8 e

′

ex4

log

2 x

3 x

3tg

log8 e

−

cos

ex4 ln8

x4 2

log

Результат оставим без упрощения.

6.3 Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование

Показательно-степенной функцией или сложно-показательной функцией называется функция вида y(x)= u(x)v(x). Логарифмическое дифференцирование состоит в нахождении производной от ло-гарифма некоторой функции, что упрощает вычисление производной. Если y = f (x), то (ln y)′ = yy′ .

П р и м е р 6 .2. Найти производную показательно-степенной функции

y= 1+ 1 2x .

Ре ш е н и е . Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части равенства,

получим		1	;	′			1 ′	;
получим	ln y = 2xln 1+		;	(ln y)	=	2x ln 1+		;
		x
		x					x

′

= 2 ln 1+ x

+ x

−

Умножая обе части равенства на у, имеем:

′

ln 1

−

y = 2 1+

x +1


	П р и м е р 6.3. Найти производную функции y =		x(1−3x)		.
			x(1−3x)

			(4x − 21)5

	Р е ш е н и е . Логарифмируем функцию: ln y = ln		x(1−3x)	. Используя свойства логариф-
	Р е ш е н и е . Логарифмируем функцию: ln y = ln			. Используя свойства логариф-
		(4x − 21)5
мов, имеем:
	ln y = 1 (ln x + ln(1−3x)−5ln(4x − 21)).
2

Дифференцируем левую и правую части равенства:

		′			1	1			3			5 4
		y			1	1			3			5 4
			=					−			−			.
		y	=		2			−	1−3x		−	4x − 21		.
		y			2	x			1−3x			4x − 21
	Откуда
				1		1			3			20			1			1			3		20
′				1		1			3			20			1	x(1−3x)		1			3		20
′							−			−			=						−			−		.
y	= y						−	1	−3x	−	4x − 21		=		2	(4x − 21)5			−	1	−3x	−	4x − 21	.
				2 x				1	−3x		4x − 21				2	(4x − 21)5	x			1	−3x		4x − 21

6.4 Производные функций, заданных неявно и параметрически

Функция y = f (x), x (a; b), неявно задана уравнением F (x, y) = 0, если для всех x (a; b) выполняется равенство F (x, f (x)) = 0.

Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество F (x, f (x)) = 0

продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию от х), а затем

полученное уравнение решить относительно f (x).

′

П р и м е р 6.4. Уравнение x3 + y5 = ex2

+ y неявно определяет функцию

y = y(x). Требует-

ся найти производную y .

′

Р е ш е н и е .

Дифференцируя по

x тождество

x3 + y5(x)= ex2

+ y(x),

получим

′

+5y (x) y

(x)= e 2x + y (x).

Отсюда 5y

′

. Из этого равенства находим

′

2xex2 −3x2

−3x

5y4 −1 .

− y = 2xe

y :

y =

П р и м е р

6.5. Найти

производную функции

y = f (x) , заданной неявно уравнением

x2 −2x2 y2 +5x + y −5 = 0 .

Р е ш е н и е .

Дифференцируя по

тождество

x2 − 2x2 y2 (x) + 5x +

+ y(x) −5 = 0 , получим

2x−4xy

−4x

′

= 0 . Выражая

′

из этого равенства, находим:

+5 + y

′

4xy2 −2x −5

1−4x2 y

П р и м е р 6.6. Вывести правило дифференцирования обратной функции.

Р е ш е н и е . Если

y = f (x), x D, y E ,

то если существует x = f −1(y), то

x = f −1(y) есть

функция, обратная к y = f (x) , при этом для всех y E выполняется равенство

f (f −1(y))− y = 0 .

Значит,

функция x = f −1(y)

есть функция, заданная неявно уравнением

f (x)− y = 0 . Для нахож-

дения производной xy

дифференцируем равенство f

(x)− y = 0 по y: fy (x(y)) xy (y)−1 = 0 , откуда

′

получаем формулу для производной обратной функции:

′

или

′

(6.4)

xy (y)

fx′(x(y))

xy =

y′x

П р и м е р 6.7. Найти производную функции arcsh x .

Р е ш е н и е . Функция arcsh x является обратной по отношению к функции y = sh x (sh x –

синус гиперболический x). По определению sh x =

ex −e−x

′

ex + e−x

> 0 x R,

. Так как (sh x) =

то sh x монотонно возрастает при всех x (−∞;+∞)

и, следовательно, имеет обратную функцию

arcsh x .

Применяем формулу (6.4) следующим образом:

учтем, что

x′y = (arcsh x)′ =

= = ch2 x −sh2 x =1и =

(sh x)′

ex + e−x

y′x

ch x

1+sh2 x

1+ y2

+sh

ch x = 1

Из соотношения (arcsh y)′ =

следует, что (arcsh x)′ =

1+ y2

1+ x2

Пусть заданы функции

x = ϕ(t),

= x(t),

(6.5)

или

= y(t), t (α;β).

y = ψ(t), t (α;β)

Если функция x = ϕ(t)

на интервале (α;β) имеет обратную t = ϕ−1(x), то определена новая

функция y(x)= ψ(ϕ−1(x)),

называемая функцией, заданной параметрически соотношениями

(6.5). Дифференцируя y(x)= ψ(ϕ−1(x))по x и используя формулу (6.4) имеем соотношение

y′x = ψ′t

t′x =

ψ′t

yt′

(6.6)

′

ϕt

П р и м е р 6.8. Найти касательную к окружности

x = 2cost,

y = 2sin t, t [0;2π]

в точке

= π .

Р е ш е н и е .

Запишем

уравнение

касательной

виде

y = y(x0 )+ y′x (x0 )(x − x0 ). Здесь

= x(t0 )= x

= 2cos

= 2

= 2 ,

= y(x0 )= 2sin arccos

= 2sin arccos

2sin =

= 2

Найдем

производную y′x по

формуле

(6.6):

yt′ = (2sin t)′t = 2cost ;

′	′	′	yt′	=
			′
xt	= (2cost)t = −2sin t, yx =
			xt

Тогда y′x (x0 )= −tg arccos x20

Окончательно имеем: y =

− 2sin t

= −tgt .

2cost

= −tg arccos

= −tg

= −1 .

−1(x −

)или y = −x + 2

(рис. 6.2).

окружность

касательная

Рис. 6.2

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf