Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

12. lim	a x −1		0				a x −1 = y,
			=	=
	x		=	=		0, y → 0
x→0	x		0		x →	0, y → 0

так как	lim		1		= lim	1
так как	lim	1			= lim
	y→0	1	ln(1+ y)		y→0 ln(1+ y)1/ y
		y	ln(1+ y)

a x =1+ y			=	lim			y ln a	= ln a lim	y	= ln a,
xln a = ln(1

		+ y)		y→0		ln(1+ y)		y→0	ln(1+ y)
						ln(1+ y)			ln(1+ y)
1				1	=1.
=			=
=	ln lim (1+ y)1/ y		=	lne
	y→∞

5.2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых

О	п р е д е л е н и е . Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x → x0 ,
если	lim α(x) = 0 .
	x→x0

Свойства бесконечно малых функций:

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функ-ций есть бесконечно малая функция.

2.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.

3.Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция.

4. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции. Если

lim f (x)= b , то f (x)= b + α(x), где			α(x) – бесконечно малая функция при x → x0 . Если
x→x0
f (x)= b + α(x), где α(x) – бесконечно малая функция при x → x0 , то lim f (x)= b .
			x→x0
Пусть α(x) и β(x) – бесконечно малые функции при x → x0 и существует предел их отно-
шения lim	α(x)	= c . Тогда:
x→x0	β(x)
1) Если c ≠ 0,		c ≠ ∞ , то α(x) и β(x)	называются бесконечно малыми одного порядка ма-

лости. Если с = 1, то α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми (обо-

значение: α(x) ~ β(x) при x → x0 ).

2) Если с = 0, то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости,

чем β(x) (обозначение α(x) = o(β(x)) при x → x0 ).

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой, т. е. если α(x) ~ α1(x), β(x) ~ β1(x) при

x → x , то	lim	α(x)	= lim	α1(x) .
0	x→x0	β(x)	x→x0	β (x)
				1

Приведем важнейшие эквивалентные бесконечно малые функции, которые используются при вычислении пределов. Если α(x) → 0, то:

x→x0

1) sin α(x) α(x);

1−cosα(x)

α(x)2 ;

tg α(x) α(x);

6) eα(x) −1 α(x);

arcsin α(x) α(x);

7) aα(x) −1 α(x) ln a ;

arctgα(x) α(x);

ln(1+ α(x)) α(x).

П р и м е р 5.1. Найти

lim

4x2

−1

arcsin(1−2x)

x→1

Р е ш е н и е . При x →

1 функции α(x) =1−2x и β(x) = = arcsin(1−2x) являются эквивалент-

ными бесконечно малыми. Поэтому

lim

4x2 −1

= lim

(2x −1)(2x +1)

= lim (−(2x +1))= −2.

arcsin(1−2x)

1−2x

x→1

О п р е д е л е н и е . Функция

f (x) называется бесконечно большой при x → x0 , если для

любого положительного числа М существует такое число δ > 0 , что при всех

x ≠ x0 , удовле-

творяющих условию

x − x0

< δ

выполняется неравенство

f (x)

> M , и

обозначается

lim

f (x) = ∞ .

x→x0

Теорема. Всякая функция, имеющая предел, ограничена.

Обратное утверждение неверно.

5.3 Непрерывность функции.

Точки разрыва функции и их классификация

Пусть функция f (x)	определена в точке x0		и в некоторой окрестности этой точки.
О п р е д е л е н и е .	Функция y = f (x)	называется непрерывной в точке x0 , если сущест-
вует предел функции	в этой точке и	он	равен значению функции в этой точке, т. е.
lim f (x)= f (x0 ).
x→x0

Функция			f (x) называется ограниченной при x → x0 , если,			задав любое ε > 0 , можно ука-
зать такое		M > 0 , что для всех x, удовлетворяющих неравенству					x − x0	< δ(ε), выполняется
зать такое		M > 0 , что для всех x, удовлетворяющих неравенству					x − x0	< δ(ε), выполняется
неравенство				f (x)	≤ M .
неравенство				f (x)	≤ M .
Из определения непрерывности функции в точке x0 следует:
1)	функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;
2)	существует конечный предел функции f (x) в точке x0 ;
3)	этот предел равен значению функции в точке x0 , т. е. lim					f (x) = f (x0 ).
					x→x0

Или другими словами:

1)функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;

2)существуют конечные односторонние пределы

	lim f (x) = f (x0 −0) и				lim f (x) = f (x0 +0) ;
	x→x0	−0			x→x0 +0
3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке x0 .
Часто используется другое определение непрерывности функ-ции в точке. Пусть									∆y –
приращение функции в любой точке х: ∆y = f (x + ∆x) − f (x) .
О п р е д е л е н и е . Функция			f (x)	называется непрерывной в точке				x = x0 , если предел
приращения	функции	в	этой	точке	равен	нулю	при	∆x → 0 ,	т. е.
lim [f (x0 + ∆x) − f (x0 )]= lim ∆y =			0 .
∆x→0	∆x→0

О п р е д е л е н и е . Точкой разрыва функции называется точка, в которой функция не яв-

ляется непрерывной. Другими словами, точка x0 ,							в которой не выполняется хотя бы одно из
трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.
Если		в	точке		x0	существуют	конечные		односторонние		пределы
lim	f (x) = f (x0		−0), lim	f (x) = f (x0 +0), такие что f (x0 −0) ≠				f (x0 +0) ,	то	x0 называется точкой
x→x0−0			x→x0+0
разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов								f (x0 −0),	f (x0 +0) не существует или
равен	бесконечности,			то	точка	x0 называется	точкой разрыва			второго	рода. Если
f (x0 −0) = f (x0 +0) , но функция в точке x0 не определена или если									f (x) в точке x0 определена,
но f (x0 ) ≠ lim			f (x) , то x0		называется точкой устранимого разрыва.
		x→x0

Укажем основные свойства непрерывных функций.

1. Простейшие элементарные функции ( C, xα, a x, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x , arccos x, arctg x, arcctg x ) непрерывны во всех точках, где они определены.

2. Если	функции	f (x) и		g(x) непрерывны в точке x0 , то и функции
f (x) ± g(x),	f (x) g(x),	f (x)	(g(x ) ≠ 0)	непрерывны в точке x .

		g(x)	0	0

3. Если u = ϕ(x) непрерывна в точке x0 , а y = f (u) непрерывна в точке u0 = ϕ(x0 ) , то сложная функция y = f (ϕ(x)) непрерывна в точке x0 .

Функция f (x) называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

О п р е д е л е н и е . Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она

непрерывна на интервале (a,b), непрерывна справа в точке a (т. е. lim f (x) = f (a) ) и слева в

x→a+0

точке b (т. е. lim f (x) = f (b) ).

x→a−0

Укажем основные свойства непрерывных на отрезке функций.

1. Функция f (x) , непрерывная на отрезке [a,b] достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений. (А, следовательно, функция , непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.)

2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах его принимает неравные значения f (a) = A, f (b) = B , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] существует хотя бы одна точка с, в которой функция

обращается в нуль, т. е. f (c) = 0, c (a,b).
	П р и м е р 5.2. Найти точки разрыва функции f (x) = ex −1	и определить их вид.
	П р и м е р 5.2. Найти точки разрыва функции f (x) = ex −1	и определить их вид.
	x

Р е ш е н и е . Так как функции ex −1 и x непрерывны, то непрерывным будет и их отно-

шение	ex −1	во всех точках, кроме точки			x = 0 . При x = 0 f (x) не определена, следовательно,
	x
разрывна. Так как lim ex −1				=1 (см. п. 5.1 пример 12), то x = 0 – точка устранимого разрыва.
		x→0	x
Если положить f (0) =1, то функция
				(ex −1)		при	x ≠ 0;


				ϕ(x) =	x
					x	при	x = 0,
				1		при	x = 0,

будет непрерывной при всех x.

П р и м е р 5.3. Установить вид точек разрыва функции

x2 +1	при	−∞ < x ≤ 0;
	при	0 < x ≤ 3;
f (x) = x +1	при	0 < x ≤ 3;
6 − x	при	x > 3.

Р е ш е н и е . Область определения функции			f (x) – вся числовая ось (−∞; +∞) . Разрывы
возможны только в точках	x = 0 и x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функ-
ции. Найдем односторонние пределы в точке x = 0 и значение функции в этой точке:
lim f (x) = lim (x2		+1) =1; lim	f (x) = lim (x +1) =1, f (0) =1.
x→−0	x→−0	x→+0	x→+0
Следовательно, в точке x = 0 функция непрерывна.
Рассмотрим точку x = 3:
lim f (x) = lim (x +1) = 4;			lim f (x) =	lim	(6 − x) = 3.
x→3−0	x→3−0	x→3+0		x→3+0
Так как эти пределы конечны, но не равны между собой, то х					= 3 – точка разрыва первого
рода. График функции f(x) изображен на рис. 5.1.
	4
	3
	1
	-1 О	3	6

Рис. 5.1

П р и м е р 5.4. Установить вид точек разрыва функции

f (x) = ex+1.

Р е ш е н и е . Данная функция непрерывна всюду, кроме точки х = –1, в которой f(x) не определена.

Поскольку

(т .к.

при

x → −1−0 ),

lim

(x) =

lim

e x+1 = 0

→ −∞

x +1

x→−1−0

(т. к.

→ +∞ при

x → −1+0 ), т. е. правосторонний предел бес-

lim

f (x) =

lim

e x+1 = +∞

x +1

x→−1+0

конечен, то х = –1 – точка разрыва второго рода.

6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6.1 Производная. Касательная и нормаль к графику функции.

Геометрический и физический смысл производной

Рассмотрим функцию y = f (x), определенную и непрерывную в интервале (a;b). Зафиксируем точку x0 (a;b). Пусть x0 (a;b), тогда ∆x = x − x0 – приращение аргумента в точке x0 , которому соответствует приращение функции ∆y = f (x − x0 )− f (x0 ) в той же точке. Иногда удобнее ∆y обозначать через ∆f (x0 ).

О п р е д е л е н и е . Производной функции в данной точке называют предел, если он существует, отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. Производную функции y = f (x) в точке x0 обозначим f ′(x0 ), тогда по определению

f ′(x0 )= lim

∆f (x )

f ′(x0 )= lim

f (x0

+ ∆x)− f (x0 )

или

. (6.1)

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

Если x – произвольная точка, то производная функции

f (x) является также функцией ар-

гумента x, т.е.

f ′(x)=

lim

∆y =

lim

f (x + ∆x)− f (x)

. Производная обозначается y′, y′x,

dy .

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

Таким образом, производная функции

f (x) в точке x0

является значением функции f (x)

′

вточке x0 .

Оп р е д е л е н и е . Если f ′(x) существует, то функция называется дифференцируемой в

точке x.

Пусть дана кривая y = f (x) (рис. 6.1), проведем через точки M(x0 , f (x0 )) и M1(x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)) прямую MM1 . Прямую, проведенную через любые две точки графика функции y = f (x), называют секущей графика функции f (x). Предельное положение MT секущей MM1 , когда M1 , передвигаясь по кривой, стремится к точке M, называется касательной к кривой в точке M (рис. 6.1).

Пусть k1 – угловой коффициент секущей MM1 , т. е. тангенс угла, который образует прямая

MM1

с осью абсцисс, k – угловой коффициент касательной MT, тогда из определения касатель-

ной

k = lim

k . Так как

M1N

lim

∆f (x0 )

, поэтому

k =

lim

∆f (x0 )

, т. е. производная

M1→M

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

f ′(x0 ) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 , а именно k = f ′(x0 ).

	секущая
касательная	0
	0

	Рис. 6.1
Уравнение	касательной запишем, используя уравнение прямой		y = ax +b . Так	как
a = k = f ′(x0 ),	тогда y = f ′(x0 )x +b . Так как прямая	проходит через	точку (x0 , f (x0 )),	то
f (x0 )= f ′(x0 )x0 +b . Отсюда b = f (x0 )− f ′(x0 ). Тогда уравнение касательной имеет вид

	y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ).	(6.2)

Прямая, проходящая через точку касания M(x0 , f (x0 )) перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции y = f (x) в этой точке. Уравнение нормали запишем в виде

y = f (x

)−

(x − x ).

(6.3)

′(x0 )

Выясним геометрический и физический смысл производной.

Величина угла прямой

(секущей) M1M к оси Ox обозначена через ϕ (см.

рис. 6.1),

ϕ = M1MN .

Из

прямоугольного

треугольника

M1MN

имеем:

tg ϕ = M1N k

= tg ϕ, tg ϕ = ∆f (x0 ). Обозначим через α угол наклона касательной MT к оси Ox,

∆x

α = TMN . Тогда tg α = TN . Если

M → M (и, следовательно,

∆x → 0 ), то tg ϕ → tg α , т. е.

tg α = lim tg ϕ

, или tg α =

lim

f (x0 + x)− f (x0 )

. Получаем равенство tg α = f ′(x0 ). Это равен-

M1→M

∆x

ство выражает геометрический смысл производной:

производная функции y = f (x)

при x = x0 равна тангенсу угла между касательной к гра-

фику функции в точке M(x0 , y0 ) и положительным направлением оси Ox.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf