5 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

5.1 Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Функция и предел функции

О п р е д е л е н и е . Под числовой последовательностью (или просто последовательно-

стью) x1, x2, x3, , xn, понимается функция xn = f (n), заданная на множестве N натуральных чисел. Отдельные числа xn называются членами (или элементами) числовой последовательности: х1 – первый член числовой последовательности, х2 – второй и т. д. Кратко последовательность обозначается {xn}, n N ; а символом xn обозначается общий член числовой последова-

тельности.

Примеры:

3. {−1,2,−3,4, }= {(−1)n n}; xn = (−1)n n .

Последовательность {хn} называется ограниченной, если существует такое число M > 0 , что для любого n N выполняется нера-венство xn ≤ M . В противном случае последовательность называется неограниченной. Очевидно, что последовательности в приме-рах 1 и 2 ограничены; в примере 3 – неограничена.

Если все элементы последовательности {хn} равны одному и тому же числу, то ее называют

постоянной.

Последовательность {хn} назывется возрастающей (убывающей), если для любого n N выполняется неравенство xn+1 > xn (xn+1 < xn ). Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

О п р е д е л е н и е . Число а называется пределом числовой последовательности {хn}, если для любого числа ε > 0 существует такой номер N(ε), что для всех n > N(ε) выполняется неравен-

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Теорема Больцано–Вейерштрасса. 1. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. 2. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

79

Если nlim→∞ xn = 0 , то последовательность {хn} называется бесконечно малой числовой после-

довательностью. Последовательность {хn} называется бесконечно большой, если для любо го

О п р е д е л е н и е . Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x X ставится в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X за-

дана функция f. Говорят, что функция f отображает множество X на множество Y.

Множество X называется областью определения функции f (обозначается D(f )), а множество Y называется областью значений функции f (обозначается E(f )).

О п р е д е л е н и е . Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для л ю- бого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что для всех x ≠ x0 , удовлетворяющих условию x − x0 < δ, выполняется неравенство f (x) − A < ε.

Обозначение предела функции: lim f (x) = A.

x→x0

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при x → x0 , то справедливы следующие

теоремы о пределах:

Теорема (предел сжатой функции). Если u(x),v(x), z(x) определены в окрестности точки

При вычислении пределов числовых последовательностей и функций часто используются известные пределы:

Первый замечательный предел lim sin x =1 .

x→0 x

80

Выражения, предел которых не может быть найден непосредственно с помощью теорем о пределах, называют неопределенностями. Раскрыть неопределенность, значит, вычислить

функции, представляет неопределенность, которую символически записывают как 00 . Если

выражения, либо использования замечательных пределов, либо применения правила Лопиталя. Другие виды неопределенностей (0 ∞; ∞ −∞;1∞; 00; ∞0 ) могут быть преобразованы к

П р и м е р ы . Найти пределы:

81