П р и м е р 4.59. Дана парабола x2 = 4y . Найти: 1) координаты фокуса; 2) уравнение дирек-

сы. П р и м е р 4.60. Составить уравнение параболы, если ее вершина совпадает с началом коор-

динат, а фокус находится в точке F (2;0).

Р е ш е н и е . Так к ак фокус параболы находится всегда на ее оси симметрии, то в нашем

При этом каноническим уравнением параболы будет y2 = 2 px, т. е. в данном случае y2 =8x. От-

метим, что уравнение директрисы x = − 2p , т. е. x = −2 .

4.17 Поверхности второго порядка

Мы будем рассматривать в данном параграфе только прямоугольную систему координат

Oxyz.

4.17.1 Цилиндры и конусы

Пусть в пространстве заданы некоторая линия L и прямая α, пересекающая L.

О п р е д е л е н и е . Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется по-

верхность, образованная прямой α при ее перемещении параллельно самой себе так, что она все время пересекает линию L. Прямые, полученные при перемещении прямой α, называются образующими этого цилиндра, а линия L – его направляющей. Если цилиндр имеет ось симметрии, а направляющая, лежащая в перпендикулярной этой оси плоскости, является окружностью, то цилиндр называется круговым.

Заметим, что если в уравнении поверхности отсутствует одна из координат, то это уравнение задает цилиндр с образующими, параллельными координатной оси, определяемой отсутствующей координатой. Уравнение направляющей этого цилиндра, лежащей в перпендикулярной образующим координатной плоскости, совпадает с уравнением самого цилиндра.

Так, уравнение F (x, y)= 0 задает цилиндр с образующими, параллельными оси Oz. Если это уравнение рассматривать в системе координат Oxy (т. е. в плоскости z = 0 ), то получим уравнение направляющей этого цилиндра.

Уравнения F (x, z)= 0 и F (y, z)= 0 задают цилиндры с образующими, параллельными осям Oy и Ox соответственно.

72

O

Рис. 4.30

O

Рис. 4.31

O

Рис. 4.32

75

O

Рис. 4.33

O

Рис. 4.34

O

Рис. 4.35

O

Рис. 4.36

76

O

Рис. 4.37

Числа a, b и c в уравнениях эллипсоида, двуполостного и однополостного гиперболоидов, конуса 2-го порядка, эллиптического и гиперболического цилиндров называются их полуосями. Все эти поверхности симметричны относительно всех координатных плоскостей и относительно начала координат. Точки пересечения двуполостного гиперболоида и эллиптического параболоида с осями симметрии называются их вершинами. Вершиной конуса называется его центр симметрии.

Чтобы по каноническому уравнению определить вид поверхности без формального заучивания уравнений, полезно рассуждать в следующей последовательности.

Если каноническое уравнение не содержит одной из переменных, то это один из цилиндров. При этом его образующие параллельны координатной оси, определяемой отсутствующей переменной, а уравнение направляющей, лежащей в координатной плоскости, перпендикулярной этой оси, совпадает с уравнением самой поверхности.

Если каноническое уравнение содержит все переменные, проверим, все ли они в квадратах. Если присутствует слагаемое первой степени, то это один из параболоидов. Какой из них, легко понять по левой части уравнения.

Если в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, посмотрим на знаки коэффициентов при квадратах. В случае, когда все эти коэффициенты одного знака, мы имеем либо эллипсоид, действительный или мнимый, либо точку. При из уравнения эллипсоида получаем частный случай – уравнение сферы.

Если в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, но они разных знаков, то рассматриваемая поверхность либо один из гиперболоидов, либо конус второго порядка. Конус выделяется тем, что он проходит через начало координат, что легко проверяется подстановкой. Так как переменных всего три, то два коэффициента при квадратах будут иметь одинаковый знак, а третий – противоположный. Таким образом, две переменные будут равноправными, а третья – особенной. Конус или гиперболоид всегда «вытянуты» вдоль оси, определяемой особенной переменной. Чтобы отличить однополостный гипер-

77

болоид от двуполостного, следует положить равной нулю эту особенную переменную. Если в сечении получился эллипс, то гиперболоид однополостный, если пустое множество – двуполостный.

П р и м е р 4.61. Построить тело, ограниченное поверхностями x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 3z.

Р е ш е н и е . Тело ограничено снизу поверхностью параболоида:

поверхностью сферы Тело изображено на рис. 4.38.

z

x

х = 0, z = 0 (координатные плоскости Ozy и Оxy). По оси Оy тело ограничено плоскостями y = 3, y = –3 (рис. 4.39).

z

3

x

Рис. 4

78