Рис. 4.22

2) Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид

где (x0 , y0 ) – координаты центра гиперболы.

4.16.4Парабола

Оп р е д е л е н и е . Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом F, и данной прямой l, называемой

директрисой.

Если расстояние от фокуса F до директрисы l обозначить через p, расположить фокус F на оси Ox, которая перпендикулярна директрисе l, а ось Oy – посередине между фокусом и директрисой параллельно последней, то парабола задастся уравнением

которое называется каноническим уравнением параболы (рис. 4.23). 66

Директриса

O

Рис. 4.23

Число p, равное расстоянию от фокуса F до директрисы l, называется параметром пара-

болы, точка O(0;0) – ее вершиной, а ось Ox – осью симметрии параболы. Уравнение ди-

ректрисы l имеет вид: x = − 2p . Эксцентриситет ε параболы по определению считается равным 1: ε =1.

Замечания. 1) Уравнение y2 = −2 px также задает параболу, симметричную относительно

Директриса

Рис. 4.24

67

2) Уравнения x2 = 2 py; x2 = −2 py также задают параболы, но симметричные относительно оси

Рис. 4.25

Рис. 4.26

3) Уравнения парабол с осями симметрии, параллельными координатным осям, имеют

Известно, что для любой линии второго порядка на плоскости существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта линия задается каноническим уравнением.

68

Покажем на конкретных примерах, как практически привести уравнение линии 2-го порядка, не содержащее члена с произведением переменных, т. е. B = 0 в (4.7 7 ), к канонич е- скому виду.

Пример 4.52. Линия второго порядка задана уравнением

Определить вид этой линии и нарисовать ее.

Р е ш е н и е . Уравнение (4.90) не является каноническим. Выделим полный квадрат, вклю-

чающий в себя все слагаемые с переменной y, причем коэффициент при y2 обязательно выносим за скобки.

3(y2 − 2y)−12x +11 = 0 3((y2 − 2y +1)−1)−12x +11 = 0

уравнения получаем каноническое уравнение Y2 = 4X . Отсюда видим, что рассматриваемая линия – парабола, симметричная относительно оси O1X.

Чтобы нарисовать эту линию, изобразим на одном рисунке обе системы координат Oxy и O1XY. При параллельном переносе координатные оси перемещаются параллельно самим себе, поэтому для определения их расположения достаточно определить положение нового на-

оси, сонаправленные осям Ox и Oy, и получаем новую систему координат. В этой системе рисуем параболу Y2 = 4X , вершина которой находится в начале координат, а ветви направлены в сторону положительного направления оси O1X симметрично этой оси (рис. 4.27).

O1

O

Рис. 4.27

69

П р и м е р 4.53. Упростить уравнение 2x2 +5y2 −12x +10y +13 = 0 , пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.

Р е ш е н и е . Выделим полные квадраты по переменным x и y соответственно.

2(x2 −6x)+5(y2 + 2y)+13 = 0

2(x2 −6x +9)−18 +5(y2 + 2y +1)−5 +13 = 0 2(x −3)2 +5(y +1)2 =10

чало новой системы координат – точка О1(3, –1); оси О1X, О1Y параллельны осям Оx и Оy соответственно. Большая полуось эллипса a = 5 , малая полуось b = 2. Изобразим кривую на рис. 4.28.

Рис. 4.28

П р и м е р 4.54. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке N(2;−5) и радиус, равный 4.

Р е ш е н и е . Подставим значения координат центра и радиуса в уравнение (4.78), получим

(x − 2)2 + (y +5)2 =16 .

П р и м е р 4.55. Дано уравнение эллипса 24x2 + 49y2 =1176 . Найти: 1) длины его п олуосей;

2)координаты фокусов; 3) эксцентриситет.

Ре ш е н и е . Приведем уравнение эллипса 24x2 + 49y2 =1176 к каноническому виду (4.80),

разделив обе части равенства на 1176: x2 + y2 =1, из которого вытекают следующие соот-

49 24

ношения:

П р и м е р 4.57. Дано уравнение гиперболы 16x2 −9y2 =144 . Найти: 1) длины полуосей гиперболы; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот.

Р е ш е н и е . Разделим обе части уравнения на 144, тем самым приведя его к каноническо-

4) Уравнения асимптот имеют вид: y = ± ba x. В нашем случае y = ± 43 x .

П р и м е р 4.58. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Oy и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.