Следовательно, данные прямые – скрещивающиеся.

скому виду.

Р е ш е н и е . Нам надо знать какую-либо точку на прямой и ее направляющий вектор s . Выберем точку на прямой следующим образом: положим, например, z = 0 ; тогда для нахождения

уравнения прямой.

4.15 Прямая и плоскость в пространстве

Пусть прямая задана каноническими уравнениями:

а плоскость задана общим уравнением:

Различают следующие случаи расположения прямой и плоскости: 1) прямая пересекается с плоскостью в одной точке; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит в плоскости. Укажем для каждого из этих случаев условия, которым должны удовлетворять коэффицие н- ты уравнений (4.70) и (4.70 а). Выпишем направляющий вектор s(m,n, p) прямой (4.70), нор-

условия параллельности прямой и плоскости:

Условия, при котором прямая (4.70) лежит в плоскости (4.70а):

Углом между прямой и плоскостью называется угол ϕ (острый) между прямой и ее проекцией на плоскость. Величина угла ϕ определяется по формуле:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно использовать парамет-

x = x0 + mt,

рические уравнения прямой (4.63): y = y0 + nt,

z = z0 + pt.

Координаты точки пересечения находятся из системы уравнений:

Откуда ϕ = arcsin 0,37 ≈ 21,5°.

60

Пример 4.50. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (4; −3; 6) перпендикулярно прямой x 2−3 = y1−1 = z−+25 .

Р е ш е н и е . Направляющий вектор s = (2;1; − 2) прямой может служить нормальным вектором для искомой плоскости: n = s = (2;1; − 2). Теперь воспользуемся формулой (4.50):

2(x − 4)+1 (y −(−3))+(− 2) (z −6)= 0 2x + y − 2z + 7 = 0 – общее уравнение искомой плоскости.

Пример 4.51. Найти координаты точки, симметричной точке M1(3;4;5) относительно плоскости x − 2y + z −6 = 0 .

Р е ш е н и е . Точка M2 , симметричная точке M1 относительно плоскости, находится на перпендикуляре к плоскости и является концом отрезка M1M2 , для которого серединой будет точка N пересечения прямой M1M2 и плоскости. Направляющий вектор перпендикуляра к плоскости – это нормальный вектор этой плоскости n = (1; − 2;1). Уравнения перпендикуляра к плоскости, проведенного через точку M1 , имеют вид (s = n = (1;−2;1)):

x = 3 +t, x1−3 = y−−24 = z 1−5 (= t) y = 4 − 2t,z = 5 +t.

Координаты точки N пересечения перпендикуляра с плоскостью найдем, решая систему

(4.76): x = 3 +t; y = 4 − 2t; z = 5 +t;

x − 2y + z −6 = 0.

Подставляя выражения для x, y, z в последнее уравнение системы, получим:

(3 +t)− 2(4 − 2t)+ (5 +t)−6 = 0 6t −6 = 0 t =1.

61