4.14Прямая в пространстве

4.14.1Различные уравнения прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве однозначно определяется:

1) заданием точки M0 (x0 , y0 , z0 ) этой прямой и ненулевого вектора s(m,n, p), параллельного прямой, который называется направляющим вектором прямой;

2)заданием двух точек M1(x1, y1, z1) и M2 (x2 , y2 , z2 ) на этой прямой;

3)пересечением двух непараллельных плоскостей.

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) параллельно вектору s(m,n, p), s ≠ 0 , имеют следую-щий вид:

а ее параметрические уравнения:

т. е. прямая задается пересечением двух плоскостей. Направляющий вектор прямой (4.65) находится по формуле:

55

4.14.2 Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:

Возможны следующие случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве: 1) прямые параллельны; 2) совпадают; 3) пересекаются в одной точке; 4) прямые скрещиваются.

Условия параллельности прямых (4.67) и (4.68):

s1(m1,n1, p1 ) и s2 (m2 ,n2 , p2 ).

Условия совпадения прямых:

s1 || s2 || M1M2 .

Условия пересечения прямых:

Заметим, что (s1,s2 ,M1M2 )= 0 является условием того, что прямые (4.67) и (4.68) лежат в одной плоскости.

Под углом между прямыми (4.67), (4.68) понимают угол между направляющими векторами s1(m1,n1, p1 ) и s2 (m2 ,n2 , p2 ). Величина этого угла ϕ определяется формулой:

56

Условие перпендикулярности двух прямых:

(s1, s2 )= 0 , т.е. m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 .

П р и м е р 4.44. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходя-

Р е ш е н и е . 1) Вектор s (3;−6;5) является направляющим вектором искомой прямой, проходящей через точку М0. Тогда по формуле (4.62) канонические уравнения прямой примут вид:

x −3 4 = y−−63 = z +5 2 .

Используя (4.63), параметрические уравнения прямой запишутся в виде:

x = 4 +3t

y = 3 −6t , t R .z = −2 +5t

2) Направляющий вектор s1 заданной в условии прямой находим по формуле (4.66):

в знаменателе стоит ноль, то нулю нужно приравнять и числитель, т. е. уравнения можно за-

ве. При этом параметрические уравнения имеют вид:

x = 2 + 4t,y = 2,

z = 2 −t.

Р е ш е н и е . s1 (7; 2; −8) и s2 (11; −8; −7) – направляющие векторы первой и второй прямых соответственно. Тогда по фор-муле (4.69)

П р и м е р 4.47. Установить взаимное расположение прямых:

x = 5 −8t, 1) x −4 2 = 3y = z−+21 и y = 4 −6t,z = 3 + 4t.

Следовательно, данные прямые параллельны или совпадают. Возьмем точкиМ1(2; 0; –1) и М2(5; 4; 3), лежащие на прямых. Получим вектор M1M2 = (3;4;4). Так как M1M2 || s1 и M1M2 || s2 , то прямые параллельны.

2) Координаты направляющих векторов s1 (2; −3;1), s2 (3; 2; 4) данных прямых не пропорцио-

нальны: 23 ≠ − 32 ≠ 14 . Следовательно, прямые либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся.

Проверим условие принадлежности двух прямых одной плоскости: (s1,s2 ,M1M2 )= 0 . Данные прямые проходят через точки М1(0; 1; –2) и М2(–4; –3; 1). Имеем: