Математика. Типовые задачи практикум

ные точки M1 3;0;4 , M 2 1; 1;2 .

12.8. Задана прямая l :

x

y 1

z 1

и точка

M 2;0;1 .

1

2

0

12.6. 1)

x 1

y 2

z 5

;

2)

x 1

y 2

z 5

;

5

3

3

2

4

1

3)

x 1

y 2

z 5

;

4)

x 1

y 2

z 5

;

1

2

3

0

0

1

12.8. 1) 4x 2y 5z 3 0;

2)

x 2

y

z 1

.

1

2

2

Замечание:

Виды уравнений прямой l в пространстве:

1)

x x0

y y0

z z0

– каноническое, где

M

0

x ,y

,z

0

l,

m

n

p

0

0

s m,n, p – направляющий вектор прямой;

x x0 mt

2)

nt

– параметрическое;

y y0

pt,

t R

z z0

3)

A x B y C z D 0

– уравнение прямой, как линии пе-

1

1

1

1

0

A x B y C z D

2

2

2

2

i

j

k

4;19;13 .

s

2

3

5

4

19

13

i

j

k

1

5

7

2x 3y 6

x 0

.

5y 10

x

y 2

Таким образом, точка М(0;–2;0). Тогда l :

x 0

y 2

z 0

.

4

19

13

1)

x2 y2

z2

R2 – сфера;

2)

x2

y2

z

2

1 – эллипсоид;

a2

b2

c

2

2

2

2

3)

x

y

z

1 однополостный гиперболоид;

x2 y2

z2

1 двуполостный

4)

x2 y2

z2 – конус второго порядка;

5)

x

2

y

2

2pz эллиптический

параболоид;

x2 y2

2pz гиперболический

x

2

y

2

1 эллиптический

a2

b2

x2

y2

6)

1 гиперболический цилиндр 2-го порядка.

a

2

b

2

2

y

2px параболический

5 x 1 2 5 y 3 2 9 10z 14 0;

5 x 1 2 y 3 2 10z;

x 1 2

y 3 2

1

5 2 2z – эллиптический параболоид.

1)

a n

1 n

1

;

n2

1)

1;

1;1;

1

;..;

3)

5;

7

;

9

;

11

; ..;

6

7

3

4

5

3

11 15

2)

2;4;6

;8;..;

4)

0;2;0;2;...

3

5

7

14.3. Вычислить пределы:

1)

lim

3n 2

;

4)

lim

1

2

n 1

;

n2

n2

n 5n 4

n n2

2)

lim

2n2

3n 1

;

5)lim

n n 2

;

n 1

n 5 6n 3n2

3)

lim

n 3

n ;

6) lim

2n 3

.

n

n 8

n

Ответы:

1

1

1

2

6

24

4

6

8

14.1. 1)

0;

;0;

;

2)

;

;

;

; 3) 1;

;

;

;

2

8

11

14

17

5

8

11

8

Замечание:

Число a называется

пределом

числовой

последовательности

a ,n N,

т. е.

lim a

a,

если

для

любого 0существует

n

n

n

номер N N

такой,

что при

n N

выполняется неравенство

an a

.

Сама последовательность при этом называется сходя-

щейся.

Пример. Вычислить предел:

3 n

3n2 2

3 n 4n2 1 2n 1 3n2 2

lim

lim

2

2n 1 4n

2

1

2n

1

4n

1

n

n

lim

10n3 9n2 5n 1

8n3 4n2 2n 1

n

n

3

10

9

5

1

n

n2

n3

10

5

lim

.

4

2

1

8

4

n

n

3

9

n

n2

n3

1)

lim

6x2 5x 4

;

6)

lim

4x x

;

11)

lim

1 cos4x

;

3x2 5x 1

x

2 16

1 cos6x

x

x 4

x 0

2)

lim

3x3 4x 2

;

7)

lim

x2 9 3

;

12) lim

cos6x 1

;

2x

3

xsin2x

x

x 0

x2 25 5

x 0

3)

lim

x2 4

;

8)

lim

x 3 1

;

13)

lim

x 3

2x

;

1

x 5 3

x x4 x2

x 4

x x 5

2x2 5x 3

sin5x

2x

4x

4)

lim

x2 9

;

9) lim

x

;

14)

lim

;

x 3

x 0

x

1 2x

x

2

6x

16

10) lim sin6x

1 3x

2 x

5)

lim

;

;

15)

lim

x .

3x2 5x 2

x 2

x 0

tg2x

x 0

Ответы:

7;

10;

1;

5;

15.1. 1) 2; 2)

;

3)

0;

4)

5)

6)

7)

8) 3;

4

6

7

16

3

9) 5;

10) 3;

11)

;

12) –9;

13) e 16;

14)

e 2;

15) e 6.

9

Замечания:

y f x

в точке

x 0

1. Число а называют пределом функции

и пишут

lim f x a,

если для любого 0

существует число

x

x0

0

такое,

что из условия

0

x x0

следует неравен-

ство

f x a

.

lim sin x

второй замеча-

2. Первый замечательный предел:

1;

x 0

x

1

1 x

тельный предел:

lim

e или

lim 1 x

x

e.

1

x

x

x 0

2

5

2

2

x

6

6x

5x 2

x

x2

а)

lim

lim

6;

2

12

x x2 2x 12

x

x

2

1

x

x2

б)

lim

x2

9x 18

0

lim

x 6 x 3

lim

x 3

3

;

3x

2

17x

6

0

1

3x 1

19

x 6

x 6

3 x

x 6

6 x

3

в)

lim

5 x 2

0

lim

5 x 2

5 x 2

8 x 3

2

8 x 3

8 x 3

x 1

8 x 3

0

x 1

5 x

lim

5 x 4 6

lim

x 1 6

3

;

4 8 x 9

x 1 4

2

x 1

x 1

1

tg2x sin2x

0

sin2x

1

г)

lim

lim

cos2x

x2

x2

x 0

0

x 0