Математика. Типовые задачи практикум

Модуль смешанного произведения abc равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c ,как на ребрах.

Объем пирамиды, построенный на векторах a, b и c, находится:

Vпир 16mod abc .

Пример 1. Вычислить смешанное произведение abc, если a 4; 3; 9 , b 1;0; 1 , c 5; 4;3 .

Решение.

9 36 16 15 45 1 46.

Пример 2. Выяснить компланарны ли векторы a, b и c, если a i 2j 3k, b 4i 5j 6k, c 7i 8j 9k.

45 48 2 36 42 3 32 35 3 12 9 0.

Значит векторы a, b и c – компланарны.

30

Пример 3. Доказать, что четыре точки A 1;2;3 , B 3;7;1 , C 5;1;6 , D 9;11;2 лежат в одной плоскости.

Решение.

Четыре точки лежат в одной плоскости, если три вектора, их соединяющие, компланарны.

Возьмем векторы AB 2;5; 2 , AC 4; 1;3 , AD 8;9; 1 и найдем их смешанное произведение:

Значит, данные точки лежат в одной плоскости.

Пример 4. Вычислить объем треугольной пирамиды ABCD, если

A 6;1;4 , B 2; 2; 5 , C 7;1;3 , D 1; 3;7 .

Решение.

9 36 16 15 45 1 46;

Vпир 16 46 233 ед3.

Пример 5. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках

A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;6 , D 2;3;8 .

31

Вычислить ее объем и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

Решение.

D

H

A O C

B

Рис. 9.1.

Vпир 13SоснH.

Найдем Sосн S ABC :

AB 2;3;0 ; AC 2;0;6 ;

32

2x 5y 19 0.

10.3.Определить угловой коэффициент и отрезок, отсекаемый на оси ординат прямой 5x 2y 8 0.

10.4.Дана прямая 2x 3y 4 0. Составить уравнение прямой,

проходящей через точку M 2;1 :

1)параллельно данной прямой;

2)перпендикулярно к данной прямой.

10.5. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2x 3y

уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

ирасстояние от точки Р до этой прямой.

10.7.Точка A 2; 5 является вершиной квадрата, одна из сто-

рон которого лежит на прямой x 2y 7 0. Вычислить площадь этого квадрата.

Ответы:

10.2.(3,–5);

10.3.k = –2,5 и b = 4;

10.4.2x + 3y – 7 = 0 и 3x – 4 = 0;

10.5.3x – 2y = 0; 2x – 3y –13 = 0;

10.6. P*(–2,–1) и d = 41; 10.7. S = 5.

Замечания:

1. Виды уравнений прямой l на плоскости: а) y kx b (с угловым коэффициентом k);

б) Ax By c 0 (общее уравнение l с нормальным вектором n(A;B));

33

M1 x1;y1 и M2 x2;y2 ).

2. Формула расстояния от точки M0 x0;y0 до прямой l:

d Ax 0 By0 C .

A2 B2

Пример. Найти точку М1, симметричную точке М2(8;9) относительно прямой, проходящей через две точки А(3;–4) и В(–1;–2).

Решение.

Составим уравнение прямой AB :

Тогда уравнение прямой M1M2 : 4 x 8 2 y 9 0 или 2x

y 25 0.

Найдем точку пересечения прямых AB и M1M2 :

Используя формулу координат середины отрезка, получим координаты точки M1 :

34

§11. Кривые II-го порядка

11.1.Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке: 1) (2;–3) и радиус R = 5;

2) (0;4) и проходящей через точку (5;–8).

11.2.Определить центр и радиус окружности, заданной уравне-

нием: x2 y2 8x 6y 21 0. Построить данную окружность.

11.3. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если:

1) его полуоси равны 4 и 5; 2) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5;

3) расстояние между фокусами равно 6 и эксцентриситет равен 53;

4) его малая ось равна 10, эксцентриситет равен 1213.

11.4. Определить вид кривой, построить ее и найти все характеристики:

1)5x2 9y2 30x 18y 9 0;

2)x2 4y2 4x 16y 8 0.

11.5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если:

1)расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами 10;

2)расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен 32;

3)уравнения асимптот y 43 x и расстояние между фокусами

равно 20.

11.6. Определить вид кривой, построить ее и найти все характеристики:

1)9x2 25y2 18x 100y 316 0;

2)16x2 9y2 64x 54y 161 0.

35

11.7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

1)парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси OX и ее параметр равен 3;

2)парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси OX и ее параметр равен 0,5;

3)парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично

относительно оси OY и ее параметр равен 14;

4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси OY и ее параметр равен 4.

11.8. Определить вид кривой, построить ее и найти все характеристики:

1)y2 10x 2y 19 0;

2)x2 6x 4y 29 0.

11.7.1) y2 6x; 2) y2 x; 3) x2 12 y; 4) x2 8y;

11.8.1) y 1 2 10 x 2 ; 2) x 3 2 4 y 5 .

36

Замечание:

Канонические уравнения кривых 2-го порядка имеют вид:

Пример. Определить вид кривой, построить ее и найти все характеристики: 5x2 6y2 10x 12y 31 0.

Решение.

Приведем уравнение кривой к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

5x2 6y2 10x 12y 31 0;

5x2 10x 6y2 12y 31 0;

37

§12. Плоскость и прямая в пространстве

12.1.Задана плоскость P : 3x 4y z 1 0 и точка M 2; 3;0 .

Написать уравнение плоскости Р , проходящей через точку М параллельно плоскости Р.

12.2. Составить уравнение плоскости Р , проходящей через точки M1 1;2; 3 и M2 2; 1;1 перпендикулярно плоскости P : 2x

y 2z 5 0.

12.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 2;5; 1 параллельно векторам a1 2;4;1 и a2 1;0;1 .

12.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 3; 1;2 , M2 4; 1; 1 , M3 2;0;2 .

12.5. Определить взаимное расположение плоскостей и найти либо расстояние между ними, либо косинус угла:

1) 4x 2y 4z 5 0, 2x y 2z 1 0; 2) 2x 5y z 0, x 2z 3 0.

Ответы:

12.1.3x 4y z 18 0;

12.2.2x 6y 5z 5 0;

12.3.4x 3y 4z 11 0;

12.4.3x 3y z 8 0;

12.5.1) 76; 2) 546.

Замечания:

1. Уравнение плоскости с нормальным вектором n A,B,C :

Ax By Cz D 0 или A x x0 B y y0 C z z0 0,

где M0 x0,y0,z0 P.

38

2. Расстояние от точки M1 x1,y1,z1 до плоскости Р равно

d Ax1 By1 Cz1 D . A2 B2 C2

Пример. Даны две точки M1 2;4; 3 и M2 3;1;1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору M1M 2.

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку:

A x x0 B y y0 C z z0 0.

x0,y0,z0 2;4; 3 , M1M2 1; 3;4 np A,B,C .

Тогда уравнение плоскости:

1 x 2 3 y 4 4 z 3 0 или x 3y 4z 22 0.

12.6. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0 1; 2;5 параллельно:

39