Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Типовые задачи практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

438.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Рис. 6.7

Пример 2. Заданы векторы

3k. Для

найти

вектора c a 2b

Прl c, где c ,

Решение.

a 5; 1;2

;

2b 2;1; 6 ;

c a 2b 3;0; 4 ;

b 1;

32 02 4 2 9 16 5;

Пр

cos 5

§7. Скалярное произведение векторов

7.1.Вычислить скалярное произведение векторов a и b, если

где – угол между векторами

7.2.Вычислить скалярное произведение векторов, заданных своими координатами a 6; 2;1 , b 1;8; 3 .

7.3.Найти угол между векторами, заданными координатами

a 4; 10;1 ; b 11; 8; 7 .

7.4.Даны вершины треугольника A 1;7;2 , B 5; 3;3 , C 12; 1; 5 . Найти внутренний угол BAC.

7.5.Даны векторы a 2; 3;1 , b 3;1;2 , c 1;2;3 . Найти Прb c a.

	7.6. При каком значении вектора										a		i 3		j	2	k		и	b	i
2				взаимно перпендикулярны?
2	j		k	взаимно перпендикулярны?
							, если		2 2,			4						135 .
	7.7. Вычислить					a b	, если	a	2 2,	b		4		и a ,b				135 .

	Ответы:
	Ответы:
7.1. 6;
	7.2. –13;
7.3.				;
		4
7.4.				;
		4
7.5.			8		;
7.5.					;
				38
	7.6. 6;
7.7.		2		10.

Замечания:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b (обозначают a b или a,b ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

a,b

cos a ,b .

Основные свойства:

1.a,b b,a .

2.a,b 0 a b.

3.a,a a 2 .

Пр

5. cos a ,b

Если вектор

x1,y1,z1 ,

x2,y2,z2 , то

x1x2

y1y2 z1z2.

Пример 1. Векторы a и b образуют угол 120 . Зная, что

a3, b 4, вычислить 3a 2b a 2b . Решение.

3a 2b a 2b 3a a 2b a 6a b 4b b

3 a 2 4a b 4 b 2 3 32 4a b 4 42 27 64 4a b

27 64 4 a b cos120 27 64 4 3 4 1 27 64 24 61.

Пример 2. Найти внутренний угол ABC треугольника с вершинами A 1;7;2 , B 5; 3;3 , C 12; 1; 5 .

Решение. Последовательно находим:

BC 7;2; 8 ; BA 4;10; 1 ;

BC BA 7 ( 4) 2 10 8 1 28 20 8 0;


			72 22		8 2		49 4 64 117;
	BC
		4 2 102 1 2					16 100 1 117;
BA
	cos			0		0 arccos0 90 .
			117		117

§8. Векторное произведение векторов

8.1.Найти векторное произведение a,b в каждом из следую-

щих случаев:

а) a 2i 11j 10k, b 3i 6j 2k;

б) a 1; 5;8 , b 5;6; 2 .

8.2.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-

торах a (2;1;2) и b (3; 4;2).

8.3.Найти площадь треугольника с вершинами A 1;1;3 , B 3; 1;6 ,

C 5;1; 3 .

8.4. Даны векторы a 3; 1; 2 и b 1;2; 1 . Найти координаты векторов a b и 2a b 2a b .

8.5.Даны векторы a 3i j 2k, b i 2 j k. Найти их произведение 2a b , a 2b .

8.6.Вычислить синус угла, образованного векторами a 1;0; 1

иb 2; 1;2 .

8.7.При каких значениях m и n векторы a и b коллинеарны,

если a 2;m;4 , b n;2;8 .

Ответы:

8.1.а) a b 38i 26 j 21k; б) a b 38;42;31 ;

8.2.15;

8.3.14;

8.4.(5;1;7); (20;4;28);

8.5.25i 5j 35k;

8.6.sin 1; arcsin1 90 ;

8.7.m 1; n 4.

Замечания:

Векторным произведением двух векторов a и b называется век-

тор с с длиной

sin a ,b

направленный перпендикуляр-

но перемножаемым векторам a и b так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от a и b происходит против часовой стрелки. Обозначают с a,b или c a b.

Основные свойства:

1.a,b b ,a .

2.a,b 0 a ||b.

3.a,a 0.

Геометрический смысл произведения векторов – его модуль a,b

равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Если a x1,y1,z1 ,

a x2,y2,z2 ,

то

a,b

2Sпарал

a,b

Пример 1. Найти векторное произведение a,b в каждом из следующих случаев:


а)	a	7i 4		j		6		k		,		b	i 2			j	2		k	;
б)		1;2; 2 ,									8;6;4 .
б)	a	1;2; 2 ,							b		8;6;4 .
Решение.									i			j		k
а)																		4	6			7	6		7	4


							7					4		6	i						j			k
			a		b		7					4		6	i						j			k
								1				2		2				2		2		1	2		1	2
								1				2		2

i 8 12 j 14 6 k 14 4 20i 20j 10k;

		i	j	k		2	2		1	2		1	2


		1 2		2
б)	a b				i			j			k
б)	a b				i	6	4	j	8	4	k	8	6
		8	6	4
		8	6	4

i 8 12 j 4 16 k 6 6 20i 20j 10k .

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма АВСD, если да-

ны вершины A 7; 5;6 , B 9; 4;8 , C 6;0;6 .

Решение.

Найдем последовательно BA 2; 1; 2 и BC 3;4; 2 :

		i	j		k		1	2		2	2				2			1


		2	1 2			i			j				k
BA	BC	2	1 2			i			j				k
		3	4	2			4	2		3	2				3			4
		3	4	2
	i 2 8 j 4 6 k 8 3 10i 2													11			;
	i 2 8 j 4 6 k 8 3 10i 2											j		11		k	;
							10	2	11		15.
		S	BA		BC		10	2	11		15.

Пример 3. Даны векторы a 3; 1; 2 и b 1;2; 1 . Найти ко-

ординаты вектора 2a											.
ординаты вектора 2a							b		b		.
Решение.														7;0; 5 :
Найдем 2			6; 6; 4 ,					2
Найдем 2		a	6; 6; 4 ,					2		a			b
2a					i		j	k						0	5		7	5		7	0


					7	0		5				i				j			k
	b			b	7	0		5				i				j			k
					1	2		1						2	1		1	1		1	2
					1	2		1

i 0 10 j 7 5 k 14 0 10i 2j 14k.

Итак, 2a b b (10;2;14).

Пример 4. Вычислить синус угла, образованного векторами

a2; 2;1 и b 2;3;6 .

Решение.

																													a
																													a		b
Т. к.			a b						a	b		sin a ,b						sin a ,b																	.


Найдем:																													a	b
																													a	b

						i			j		k			2			1		2		1						2		2


a					2			2			1		i					j					k
a		b			2			2			1		i					j					k
					2			3		6				3			6		2		6						2		3
					2			3		6
i 12 3 j 12 2 k 6 4 15i 10																													10					;
i 12 3 j 12 2 k 6 4 15i 10																												j	10				k	;
	a							15 2 10 2									10 2							425 5 17;
	a		b					15 2 10 2									10 2							425 5 17;
				a			22 2 2 12 4 4 1 3;
				a			22 2 2 12 4 4 1 3;
							22 32 62 4 9 36 7;
						b	22 32 62 4 9 36 7;
								sin							5		17 5				17 .

										a ,b
															3 7					21
														5;								.
Пример 5.			Дано:						a			b		5;		a ,b					4	.			Вычислить площадь
																					4
треугольника, построенного на векторах a 2																										и 3a 2								.
треугольника, построенного на векторах a 2																								b		и 3a 2						b		.
Решение.

a 2b 3a 2b 3a a 6b a 2a b 4b b6a b 2a b 8a b ;

	1	8				4
S	2	8	a b			4	a	b		sin a ,b
	2								2
4 5 5sin					4 25				2		50	2.
4 5 5sin				4	4 25				2		50	2.
				4					2

Пример 6. Определить при каких значениях m и n векторы a и b коллинеарны, если a m;4; 3 , b 3; 2;n .

Решение.

Векторы коллинеарны, если пропорциональны их координаты, тогда

m	4	3	k 2;	m	2;	m 6;
3	2	n		3

n3 2 3 2n n 32.

§9. Смешанное произведение векторов

9.1.Вычислить смешанное произведение abc :

a)		1;2;1 ,		1;2; 3 ,		8;6;4 ;
	a		b		c

б) a 1;2;3 , b 3;1;2 , c 2;3;1 .

9.2. Выяснить компланарны ли векторы a, b и c : 1) a i 7 j k, b 8i j 8k, c i 2 j k;

2)		1;1; 1 ,		3; 3;2 ,		3; 3;1 .

	a				c
			b
9.3. Проверить лежат ли точки A 1;2;1 ,							B 3;1;2 ,	C 3; 2;2
и D 3; 4;3 в одной плоскости.
9.4. Вершины				треугольной		пирамиды	находятся	в точках

A 2;1;1 , B 6; 2;2 , C 4;3;2 , D 6;8;7 . Вычислить длину высо-

ты, проведенную из вершины D.

9.5. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках A 0;0;0 , B 5;2;0 , C 2;5;0 , D 1;2;4 . Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенную из точки A на грань BCD.

Ответы:

9.1.а) –40; б) 18;

9.2.1) да; 2) нет;

9.3.да;

9.4.223 ;

9.5.Vпир 14; H 33.

Замечания.

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называют число a,b ,c , которое обозначают ab c.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a, b и c являетсяравенство нулю их смешанного произведения.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20253.13 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.4-1.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf