Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Типовые задачи практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

438.88 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Математические методы в строительстве»

МАТЕМАТИКА. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ: ПРАКТИКУМ

Пособие

Минск

БНТУ

2021

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Математические методы в строительстве»

МАТЕМАТИКА. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ: ПРАКТИКУМ

Пособие для обучающихся по специальностям

1-69 01 01 «Архитектура»,

1-69 01 02 «Архитектурный дизайн»

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области строительства и архитектуры

Минск

БНТУ

2021

УДК 51(076.1)(076.5) ББК 22.1я7

М34

С о с т а в и т е л и:

О. А. Мороз, И. А. Голубева

Р е ц е н з е н т ы:

доцент кафедры общей математики и информатики БГУ, канд. физ.-мат. наук А. А. Самодуров;

кафедра высшей математики УО «Военная академия Республики Беларусь» (зав. каф., д-р техн. наук, профессор В. А. Липницкий)

М34 Математика. Типовые задачи: практикум : пособие для обучающихся по специальностям 1-69 01 01 «Архитектура», 1-69 01 02 «Архитектурный дизайн» / сост.: О. А. Мороз, И. А. Голубева. –

Минск : БНТУ, 2021. – 55. ISBN 978-985-583-301-8.

Издание содержит теоретический и практический материал по программе курса математики для студентов архитектурного факультета. В данном пособии приводятся задачи для самоконтроля, решенные варианты, а также основные теоретические вопросы и указания.

	УДК 51(076.1)(076.5)
	ББК 22.1я7
ISBN 978-985-583-301-8	© Белорусский национальный
	технический университет, 2021

§ 1. Матрицы и операции над ними

	3		0			0		1
1.1. Даны матрицы		4		и			2		. Найти 2A 3B.
1.1. Даны матрицы	A	4	1	и	B		2	1	. Найти 2A 3B.
		2	3				4
		2	3				4	4
1.2. Найти AT и BT , если A 2					3	4		5 ,	7	1
1.2. Найти AT и BT , если A 2					3	4		5 ,	B	.
									4	2
1.3. Решить матричное уравнение 2X 3A E, если
		1		2	2
			0	1	3
	A		0	1	3	.
			2	1	4
			2	1	4

1.4. Найти m и n:

а) б) в) г)

A3 5 B5 2 Cm n ; A2 4 Bm n C2 6; A4 m Bn 1 C4 1; Am 2 B2 n C3 5.

1.5.Даны матрицы A3 4, B1 3, C4 1. Существуют ли произведе-

ния: A B; B A; A C; C A: A C B; C B A?

1.6.Найти произведение матриц:

	2	3 1	2										1
	2	3 1	2	;			б) 2			3 5						;
а)	1			;			б) 2			3 5				1		;
	1	4 3	1											2
														2
	1							2		3					1		1		4
		2 3	5 ;				г)	2		3	1				2			5	6
в)	1	2 3	5 ;				г)		4	5		0			2			5	6	.
									4	5		0			0			1	3
	2														0			1	3
					1		2					0			1		0
		3	, если а)		1		2		;	б) A			0		0		1
1.7. Найти A			, если а)		A	3	7		;	б) A			0		0		1	.
						3	7						0		0		0
													0		0		0

1.8. Проверить равенство A B 2 A2											2AB B2, если
						A	2	3	,	1	1
						A			,	B	.
							1	0		2	4
Ответы:
	6			3
1.1.			2		1	;
1.1.			2		1	;
		8			6
		8			6
		2
1.2.		3		;	7	4	;
1.2.		4		;			;
		4			1	2
		5
		5
	1	2			6	6
1.3.	1		0		2
1.3.	2		0		2	9 ;
	2		6		3
			6		3	11

1.4.а) m 3,n 2; б) m 4,n 6; в) m n N; г) m 3,n 5;

1.5.A B,C A нет;

	11	1							2	3	5		8	12	23
	11	1			11 ; в)							; г)	8	12	23
1.6. а)		;	б)		11 ; в)				2	3	5	; г)		21	46	;
	11	6							4	6	10		14	21	46
									4	6	10
	53	102				0		0	0
1.7. а)	53	102		;	б)		0	0	0	;
1.7. а)				;	б)		0	0	0	;
	153	253					0	0	0
							0	0	0

1.8. не выполняется.

Замечания:

1.Складывать можно только матрицы одного размера.

2.Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

3.При транспонировании матрицы каждая ее строка заменяется столбцом с тем же номером.

4.Можно умножать только согласованные матрицы, т. е. количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй. При произведении матриц работает правило «строка на столбец».

5.В общем случае A B B A.

Пример 1. Найти матрицу Х из уравнения 3X 2B CT , если

2		3	0		1		1
				,		1	1
B	4	1	1		C			.
						0	3

Решение.

3X 2B CT X 13 CT 2B ;

			2B		2				3	0		4		6	0	;
			2B		2					1						;
					4 1					1		8		2 2
					1				1 T		1		1		0
			C	T		1			1		1		1		0
			C			1			1			1	1		;
						0			3			1	1		3
						0			3
X	1	1		1 0					4 6			0		1	3	7	0
X	3		1	1 3										3		1 1
	3		1	1 3					8 2			2		3	7	1 1
							1			7 3		0
								7	3	1 3		1 3	.
								7	3	1 3		1 3

Пример 2. Найти произведение матриц A B C, если

1		2			1 0 1			1
1		2	,		1 0 1	,		4
A	3	4	,	B	2 5 3	,	С	4	.
	3	4			2 5 3			2
								2

Решение.

Сначала умножим матрицу А на матрицу В:

A2 2 B2 3				1			2 1					0	1					правило
				1			2 1					0	1					правило
					3		4					5					«строка на столбец»
					3		4		2			5	3				«строка на столбец»
1				1			2			2	1 0 2 5 1 1 2 3
											1 0 2 5 1 1 2 3
	3 1 4							2				3 0 4 5						3 1			4 3
	3 1 4							2				3 0 4 5						3 1			4 3
				5				10			5		5	1				2	1
									20				5		1			4		3	.
				5					20			15			1			4		3
											5 1 2							1	1
			A		B				С		5 1 2							1		4
				2 2		2 3				3 1			1			4		3
													1			4		3		2
																				2
5		1			1					2 4		1 2			5			9			9 5
5															5						.
				1 1						4 4		3 2						21		21 5
				1 1						4 4		3 2						21		21 5

§2. Определители

2.1.Вычислить определители 2-го порядка:

а)		1	7			;			б)		1 2		.
а)		1	7			;			б)		1 2		.
		3		8							3	4
2.2. Вычислить определители 3-го порядка:
а)	2				0		1		б)	3		2 1				в)	0	1	2
	2				0		1			3		2 1					0	1	2
	3			2 4				;		1		4		2	;		3 4		2	.
	0				1		1				1	2		1			1	1	3

2.3. Вычислить определители 4-го порядка:

	2	1	1	8			3	1
	2	1	1	8			3	1
а)	1	3	6	9	;	б)	0	0
	0	2	2	5			2	1
	1	4	6	0			2	2

2.4.Построить график функции:

xx2

y	1	a	a2

	b a b		b2

Ответы:

2.1.а) –13; б) 2;

2.2.а) –7; б) 0; в) –3;

2.3.а) 27; б)75;

2.4.парабола.

Замечания:
1.	a11 a12	a a		a	a ;
1.	a11 a12	a a		a	a ;
	a21 a22	11	22	21	12

1 6.

1, b a. 1

a11	a12	a13
a11	a12	a13
a21	a22	a23	a11a22a33 a21a32a13 a12a23a31
a31	a32	a33

a31a22a13 a32a23a11 a12a21a33 –правило треугольника;

a11	a12	a13	a11 A11 a12 A12 a13 A13,
a21	a22	a23	a11 A11 a12 A12 a13 A13,
a31	a32	a 33

где	A 1 i j M	ij	,	M	ij	– определитель, полученный из исходно-
	ij	ij			ij

го вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

2. Определитель 4-го порядка сводится к определителю 3-го порядка с помощью элементарных преобразований и теоремы о разложении определителя по элементам ряда.

Пример. Вычислить определитель:

23 4

A 3	2	1 .
1	4	3

Решение.

Способ 1. По правилу треугольника:

23 4

A 3 2	1	2 2 3 4 3 4 3 1 1
1 4	3

2 1 4 2 4 1 3 3 3 68.

Способ 2:

	2	3	4		2	1		3	1		3	2


A	3	2	1	2			3			4
	1	4	3		4	3		1	3		1	4
	1	4	3
		2 2 3 8 4 10							68.

§ 3. Обратная матрица

3.1. Найти матрицы, обратные данной:

а)	4	7	;			б)	3		3	;
а)	3	2	;			б)		4	5	;
	3	2						4	5
	1	3		4			1		1	2
г)	3 5			6	;	д)	1		1	2	;
г)	3 5			6	;	д)		3	4	5	;
	2	2		10				3	4	5
	2	2		10

3.2. Найти матрицу Х из уравнений:

	2		0	0
в)		0	1	0		;

		0	0	3

	3		4	5
е)		2	3	1
					.
		3	5	1

2		3		3		2	;	б)	2		3	3		2	;
а)	4	5	X		2	1			X	4	5		2	1

3.3.Определитьприкаких существуетматрица,обратнаяданной:

1		2	3		1			4
	0	1	2	;		1	1	9
а)					б)				.
	0	0				0	1	5
			1

Ответы:																1
																1	2		0		0
	1		2		7				1	5 3							2
3.1. а)	1					;	б)		1				;	в)		0			1		0		;
3.1. а)				3	4	;	б)	27		4			;	в)		0			1		0		;
29				3	4			27		4		3									1
																0			0		1	3
																0			0			3
								1		2		21		11						1		9	13
г) не существует;							д)			1		12		7		;		е)				9	13	;

																			22		16		6
								3		1		3							22		16		6
										1		3		1
		1		7		13				1	22			2
3.2. а)		1					;		б)	1					;
3.2. а)				14		4	;		б)	8		25			;
		22		14		4				8		25		3
3.3. а) 1;						б)	–		не существует.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20253.13 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.4-1.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf

			2B		2				3	0		4		6	0	;
			2B		2					1						;
					4 1					1		8		2 2
					1				1 T		1		1		0
			C	T		1			1		1		1		0
			C			1			1			1	1		;
						0			3			1	1		3
						0			3
X	1	1		1 0					4 6			0		1	3	7	0
X	3		1	1 3										3		1 1
	3		1	1 3					8 2			2		3	7	1 1
							1			7 3		0
								7	3	1 3		1 3	.
								7	3	1 3		1 3

а)	4	7	;			б)	3		3	;
а)	3	2	;			б)		4	5	;
	3	2						4	5
	1	3		4			1		1	2
г)	3 5			6	;	д)	1		1	2	;
г)	3 5			6	;	д)		3	4	5	;
	2	2		10				3	4	5
	2	2		10

			2B		2				3	0		4		6	0	;
			2B		2					1						;
					4 1					1		8		2 2
					1				1 T		1		1		0
			C	T		1			1		1		1		0
			C			1			1			1	1		;
						0			3			1	1		3
						0			3
X	1	1		1 0					4 6			0		1	3	7	0
X	3		1	1 3										3		1 1
	3		1	1 3					8 2			2		3	7	1 1
							1			7 3		0
								7	3	1 3		1 3	.
								7	3	1 3		1 3

а)	4	7	;			б)	3		3	;
а)	3	2	;			б)		4	5	;
	3	2						4	5
	1	3		4			1		1	2
г)	3 5			6	;	д)	1		1	2	;
г)	3 5			6	;	д)		3	4	5	;
	2	2		10				3	4	5
	2	2		10

			2B		2				3	0		4		6	0	;
			2B		2					1						;
					4 1					1		8		2 2
					1				1 T		1		1		0
			C	T		1			1		1		1		0
			C			1			1			1	1		;
						0			3			1	1		3
						0			3
X	1	1		1 0					4 6			0		1	3	7	0
X	3		1	1 3										3		1 1
	3		1	1 3					8 2			2		3	7	1 1
							1			7 3		0
								7	3	1 3		1 3	.
								7	3	1 3		1 3

а)	4	7	;			б)	3		3	;
а)	3	2	;			б)		4	5	;
	3	2						4	5
	1	3		4			1		1	2
г)	3 5			6	;	д)	1		1	2	;
г)	3 5			6	;	д)		3	4	5	;
	2	2		10				3	4	5
	2	2		10