Математика в примерах и задачах. Ч. 3. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка

50

Рис. 6.9

Примеры решения задач

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

1)9x2 16y2 36z2 18x 64y 216z 253 0;

2)4x2 9y2 36z2 16x 54y 72z 65 0.

51

Решение. 1. Воспользуемся методом выделения полных квадратов. Преобразуем левую часть уравнения:

9 x2 2x 1 1 16 y2 4y 4 4 36 z2 6z 9 9 253

9 x 1 2 9 16 y 2 2 64 36 z 3 2 324 253

9 x 1 2 16 y 2 2 36 z 3 2 144.

которое определяет эллипсоид с полуосями a 4,b 3,c 2. 2. Преобразуем левую часть уравнения:

4 x2 4x 4 9 y2 6y 9 36 z2 2z 1 16 81 36 65 0, 4 x 2 2 9 y 3 2 36 z 1 2 36.

Разделив обе части уравнения на 36 и введя новые координаты X x 2,Y y 3, z 1, получаем:

X322 Y222 Z122 1.

Изучим форму этой поверхности с помощью метода сечений. Найдем главные сечения. В сечении поверхности плоскостью Оху

52

Плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает поверхность по гиперболе X322 Y222 1 h12 , Z h.

Плоскость, параллельная плоскости Оуz, пересекает поверхность по гиперболе Y222 Z122 1 h92 , X h.

Плоскость, параллельная плоскости Охz, пересекает поверхность по эллипсу X322 Z122 1 h42 ,Y h.

Анализируя сечения, получаем, что данная поверхность является однополостным гиперболоидом.

Задания для решения в аудитории

Iуровень

1.Найдите центр и длины полуосей эллипсоида: 1) x2 4y2 4z2 16;

2)16(x 1)2 9(y 2)2 36(z 2)2 144;

3)4x2 9y2 36z2 8x 36y 72z 40 0.

2. Определите, какая поверхность задана уравнением:

1) x2 y2 1 0; 2) y2 8z; 3) x2 y2 z2 1; 16 12 4

6)y2 z2 1. 4 9

53

IIуровень

1.Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности:

1)2x2 6y2 3z2 12x 24y 24z 30 0;

2)x2 2y2 3z2 4x 4y 24z 52 0;

3)x2 2y2 6x 18y 8z 49 0;

4)2x2 3y2 6x 18y 12z 47 0;

5)2x2 y2 z2 16x 2y 4z 17 0.

Задания для самостоятельного решения

1. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности:

1)x2 y2 z2 4y 4z 4 0;

2)x2 y2 4z2 2y 16z 11 0;

3)x2 5y2 z2 20y 20 0;

4)x2 y2 4y z 4 0;

5)x2 y2 4z2 6y 8 0;

6)x2 2y2 z2 4z 4 0.

2. Постройте цилиндр:

1)y2 6y 4x 13 0;

2)x2 y2 2y 0;

3)x2 4y2 8y 0.

Ответы к заданиям для самостоятельного решения

1. 1) эллипсоид; 2) двуполостный гиперболоид; 3) конус второго порядка; 4) эллиптический параболоид; 5) однополостный гиперболоид; 6) однополостный гиперболоид.

54

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-Пресс, 2009. – 608 с.

2.Жевняк, Р. М. Высшая математика: Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск : Вышэйшая школа, 1992. – 384 с.

3.Бугров, Я. С., Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров С. М. Никольский. – М. : Наука, 1980. – 176 с.

4.Гусак, А. А. Высшая математика : в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск :

Тетрасистемс, 2000. – Т. 1. – 544 с.

5.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике :

в3 ч. / А. П. Рябушко [и др.]. – Минск : Вышэйшая школа, 1990. –

Ч. 1. – 271 с.

6.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р. Ф. Апатенок [и др.]. – Минск : Вышэйшая школа, 1990. – 287 с.

7.Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу

[и др.] – М. : Айрис-пресс, 2007. – 576 с.

55

56