Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика в примерах и задачах. Ч. 3. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

637.69 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Решение. Воспользуемся

формулой

(1.8).

Зная,

что

φ 45 tgφ 1.

Находим

угловой коэффициент

k искомой

2. Получим 1

прямой, принимая k

Из этого уравнения находим

k2 5 и k2

Следовательно,

запи-

задача имеет два решения. Используя координаты точки M ,

шем для каждого случая уравнение с угловым коэффициентом по формуле (1.4):

y	1 x	3	,	y 5x 11,
	5	5
или в общем виде (1.6):
x 5y 3 0,				5x y 11 0.

Задания для решения в аудитории

Iуровень

1.Составить уравнения прямой, проходящей через: 1) точку M0 1,2 перпендикулярно вектору n 2,2 ; 2) точку M0 1, 1

параллельно	вектору	a 3, 1 ;	3)	точку	M0 1,	3 параллельно
оси Oy; 4) точки M1 1,		2 и M2 2,		5 .
2. Определить, какие из точек A 2, 1 ,					B 0,4	и C 1,2 при-
	x 2t,
надлежат прямой
3. Найти	y 1 6t.
3. Найти	точку пересечения		двух прямых			3x 4y 29 0,

2x 5y 19 0.

4.Определить взаимное расположение заданных прямых L1 и L2. При этом в случае параллельности прямых найти расстояние

d(L1, L2) между прямыми, а в случае пересечения двух прямых косинус угла между ними и точку M0 пересечения прямых:

1) x 5y 35 0,	3x 2y 27 0;
2) 3x 5y 4 0,	6x 10y 7 0;
3) 2x 4y 3 0,	x 2y 0;

4) 12x 15y 8 0, 16x 9y 7 0.

II уровень

1. Дана прямая 2x 3y 4 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 2,1 :

1)параллельно данной прямой;

2)перпендикулярно данной прямой.

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2x 3y 5 0, 3x 2y 7 0 и одна из его вершин A 2, 3 . Составить уравнения

двух других сторон этого прямоугольника.
3.	Найти точку Q, симметричную точке P 5,13		относительно
прямой 2x 3y 3 0.
4.	Даны вершины треугольника A 1, 1 ,	B 2,1 , C 3,5 .Со-
ставить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на
медиану, проведенную из вершины В.
5.	Даны вершины треугольника A 2, 2 ,	B 3, 5 , C 5,7 . Со-

ставить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине A.

6. Определить, при каких значениях т и п две прямые mx 8y n 0, 2x my 1 0:

1)параллельны;

2)совпадают;

3)перпендикулярны.

7. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A 3, 7 и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрез-

ки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).

8. Через точку пересечения прямых x 4y 2 0 и 5x 3y 4 0 провести прямую, образующуюугол 45 с x 7y 8 0.

	Задания для самостоятельного решения
1.	Составить уравнения прямой, проходящей через:
1)	точку M0 1,1	перпендикулярно вектору n 2, 1 ;
2)	точку M0 1,	1 параллельно вектору a 2,0 .
2.	Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вер-

шинами A 3,2 , B 5, 2 , C 1,0 .

3. Даны уравнения двух сторон прямоугольника x 2y 0, x 2y 15 0и уравнение одной из его диагоналей 7x y 15 0. Найти вершины прямоугольника.

4. Найти проекцию точки P 5,13 относительно прямой

4x 5y 3 0.

5.Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A 5, 4 , B 1, 3 , C 3, 2 параллельно противо-

положным сторонам.
6.	Стороны	треугольника		даны уравнениями		4x y 7 0,
x 3y 31 0,		x 5y 7 0.		Определить точку пересечения его
высот.
7.	Определить,		при каком значении		т	две прямые
m 1 x my 5 0			и mx 2m 1 y 7 0 пересекаются в точке,
лежащей на оси абсцисс.
8.	Даны вершины треугольника A 1, 2 ,				B 5,4 , C 2,0 . Со-

ставить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

9. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A 2, 3 и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.

Ответы к заданиям для самостоятельного решения

1. 1) 2x y 1 0; 2)			y 1.
2.	x 2y 8 0,		2x 4y 2 0,	x y 1 0,	x 3 0,
x y 3 0,		y 0.
3.	A(2, 1),	B( 1, 7),	C(1, 8), D(4, 2).
4.	( 2, 1).

5. 5x 2y 33 0, x 4y 11 0, 7x 6y 33 0.

6.(3, 4).

7.m 127 .

8.5x y 3 0 – биссектриса внутреннего угла; x 5y 11 0 –

биссектриса внешнего угла.

9. x y 5 0, x y 1 0, 3x 2y 0.

2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Скалярным произведением ненулевых векторов a и b называется число:

(2.1)

a,b

cos a,b

прab

прb a.

Плоскость в пространстве можно задать разными способами: тремя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости. В зависимостиот этого рассматриваютсяразличные виды ееуравнений.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки M0 x0, y0, z0 ,

M1 x1, y1, z1 , M2 x2, y2, z2 , не лежащие на одной прямой. Пусть M x, y, z – произвольная точка плоскости, тогда можно

построить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x x0 x1 x0 x2 x0

y y0		z z0		0.	(2.2)
y y0		z z0
y1	y0	z1	z0
y2	y0	z2	z0

2.Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 x0, y0, z0

идва неколлинеарных вектора a1 l1,m1,n1 и a2 l2,m2,n2 , параллельных данной плоскости:

x x0	y y0	z z0	0.	(2.3)
x x0	y y0	z z0
l1	m1	n1
l2	m2	n2

3. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 x0, y0, z0

перпендикулярно векторуn A, B,C :
A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0,	(2.4)

на основании которого выводится общее уравнение плоскости:

Ax By Cz D 0,

(2.5)

где D Ax0 By0 Cz0.

4. Уравнение плоскости «в отрезках». Если известны точки пере-

сечения плоскости P с координатными осями, т. е.						M0 a, 0, 0 ,
M1 0, b, 0 ,	M2 0, 0, c , то справедливо уравнение:
		x	y	z	1.	(2.6)
		a	b
				c

О взаимном расположении двух плоскостей можно судить по их

нормальным векторам.
Расстояние d M0, P от точки M0 x0, y0, z0		до плоскости Р, за-
данной общим уравнением Ax By Cz D 0,		находится по фор-
муле:
d M0, P	Ax0 By0 Cz0 D		.	(2.7)


	A2 B2 C2

Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами n1 и n2 этих плоскостей:


	n		,n		cos(n1,n2)	n		,n
cosφ		1		2			1		2	.	(2.8)
cosφ		1		2			1		2	.	(2.8)
		n1		n2			n1		n2

Примеры решения задач

Пример 1. Записать общее уравнение плоскости, проходящей

через точку Q 3, 4, 5		параллельно			векторам a	3, 1, 1
и a 1, –2,1 .					1
и a 1, –2,1 .
2				и a
Решение. Поскольку векторы a				и a	не коллинеарны, то по
			1	2
формуле (2.3) получим:	x 3		y 4	z 5
	x 3		y 4	z 5
		3	1	1	0.
		1	2	1
Преобразуем левую часть:
						15

x 3	y 4	z 5	x 3	1	1	y 4	3	1	z 5	3	1


3	1	1
1	2	1		2	1		1	1		1	2
1	2	1

= x 3 1 2 y 4 3 1 z 5 6 1 x 4y 7z 16.

Таким образом, получаем общее уравнение искомой плоскости: x 4y 7z 16 0.

Пример 2. Записать общее уравнение плоскости, проходящей че-

рез точки M1 2, 1, 3	и	M2 3, 1, 2	параллельно вектору
a 3, 1,4 .
Решение. Составим вектор			2,1+1,2 3 1,2, 1 .
Решение. Составим вектор		M1M2 3	2,1+1,2 3 1,2, 1 .
		не коллинеарны. Тогда согласно
Векторы M1M2 и a 3,	1,4	не коллинеарны. Тогда согласно

форму-ле (2.3), уравнение плоскости имеет вид:

x 2	y 1	z 3
x 2	y 1	z 3
3	1	4	0,
1	2	1

откуда получаем общее уравнение 9x y 7z 40 0.

Пример 3. Плоскость проходит через точку M1 6, 10, 1 и от-

секает на оси абсцисс отрезок a 3 и на оси аппликат отрезок c 2 . Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

Решение. Воспользуемся уравнением «в отрезках» (2.6) и подставим заданные значения a и c: x3 by 2z 1.

В полученное		уравнение		подставим координаты						точки
M1 6, 10,1 :	6	10	1 1.	Решив уравнение,		получим, что
	3
		b	2		x		y		z
b 4. Тогда уравнением «в отрезках» имеет вид										1.
					3		4
								2

Пример 4. Найти расстояние между параллельными плоскостя-

миP1: 2x y z 1 0 и P2: 4x 2y 2z 1 0.
n		Решение.	Поскольку нормальный вектор		плоскости P1
n	P	2, 1,1	и нормальный вектор плоскости	P	n	P	4,2, 2
	P			2		P
	1					2

коллинеарны (их соответствующие координаты являются пропорциональными), то плоскости P1 и P2 параллельны.

Найдем точку, принадлежащую плоскости P1. Пусть x y 0, тогда P1: 2 0 0 z 1 0 z 1. Получили точку N 0,0,1 .

Таким образом, расстояние между двумя параллельными плоскостями будем искать как расстояние от точки N , принадлежащей

плоскости P1, до плоскости P2 по формуле (2.7).

d(N, P2) 4 40 2 2 202 2 12 12 236.

Задания для решения в аудитории

Iуровень

1.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 2,1, 1 и имеет нормальный вектор n 1, 2,3 .

2.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки:

	1)		M1				1,2,0 ,	M2 2,1,1 ,					M3 3,0,1 ;
	2)		M1				1,1,1 ,	M2(0,–1,2),					M3 2,3, 1 .
	3. Составить							уравнение				плоскости,				проходящей			через точку
M	1	1,1,1 параллельно двум векторам: a															0,1,2	и	a 1,0,1 .
	1													1					2
	4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
М1		и M2 параллельно вектору a1, если:
	1)M			1		5,1,3 ,		M	2	2,0,1 ,			a	2,1,7	;
				1			8,0,2 ,		2				1	a 0, 5,8 .
	2)		M		1		8,0,2 ,	M		2	1,5, 6	,		a 0, 5,8 .
					1					2				1

5. Определить взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельны, то найти расстояние между плоскостя-

ми, если пересекаются косинус угла между ними.

1)x y 3z 1 0 и 2x y 5z 2 2;

2)2x y 2z 4 0 и 4x 2y 4z 8 0;

3)x y 1 0 и y z 1 0;

4)2x y z 1 0 и 4x 2y 2z 2 0.

	II уровень
1. Даны две	точки: M1 3, 1,2 и	M2 4, 2, 1 . Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендику-
лярно к вектору
лярно к вектору	M1M2 .

2.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x 3y 2z 3 0.

3.Составить уравнение плоскости, которая проходит через началокоординатперпендикулярнокдвумплоскостям:

2x y 3z 1 0

x2y z 0.

4.	Вычислить	объем	пирамиды,	ограниченной	плоскостью
2x 3y 6z 12 0 и координатными плоскостями.
5.	Плоскость	проходит	через точки	M1 1,2, 1 и	M2 3,2,1

и отсекает на оси ординат отрезок b 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

6. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) 3x 5y lz 3 0, x 3y 2z 5 0; 2) 7x 2y 2 0, lx y 3z 1 0.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью 2x y 5z 7 0 угол 60 .

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n 5, 0, 3 .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M2 параллельно вектору a1, если:

1)M1 1,1,1 , M2 2,3, 1 , a1 0, 1, 2 ;

2)M1 1,2,0 , M2 2,1,1 , a1 3, 0, 1 .

	3. Составить уравнение плоскости,			проходящей через точку
M	1	0,1,2	параллельнодвумвекторам: a	2, 0, 1	и a	1, 1, 0 .
	1		1		2

4. Определить взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельны, то найти расстояние между плоскостями, если пересекаются косинус угла между ними:

1)x 2y z 1 0 и y 3z 1 0;

2)2x y z 1 0 и 4x 2y 2z 1 0.

5. Известны координаты вершин тетраэдра: A 2,0,0 ,

B 5,3,0 ,

C 0,1,1 и D 2, 4,1 . Составить уравнения его граней.

6. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 2, 1,1 перпендикулярно к двум плоскостям:

2x z 1 0 y 0.

7.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки

M1 1, 1, 2

и M2 3,1,1 перпендикулярно к плоскости

x2y 3z 5 0.

8.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 2, 3, 4 и отсекает на координатных осях отличные от нуля

отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).

Ответы к заданиям для самостоятельного решения

1.5x 3z 0.

2.1) 2x 2y z 1 0; 2) x 2y 3z 3 0.

3.x y 2z 5 0.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.202523.88 Mб1Маркшейдерские работы при эксплуатации месторождений_1.pdf
#
28.12.20251.72 Mб0Математика (разделы векторная алгебра и аналитическая геометрия; определители и матрицы. Системы линейных уравнений).pdf
#
24.11.20251.35 Mб1Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды.pdf
#
24.11.20252.01 Mб0Математика в примерах и задачах. В 10 ч. Ч. 1. Элементы линейной алгебры.pdf
#
28.12.2025670.74 Кб0Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра.pdf
#
28.12.2025637.69 Кб1Математика в примерах и задачах. Ч. 3. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка.pdf
#
24.11.20253.2 Mб0Математика для первокурсника. Повторение курса средней школы.pdf
#
28.12.20251.53 Mб0Математика-1.pdf
#
24.11.20252.24 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.17 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf