Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра

4. Пусть

e

, e

, e

– базис пространства

R3 и e e

2e

2e

,

1

2

3

1

1

2

3

e 2e

e

,

e e e

e .

Показать,

что

e , e , e

–

базис

2

1

2

3

1

2

3

1

2

3

пространства

R3 . Найти матрицу перехода от первого базиса ко

второму

и

от

второго

к

первому. Найти координаты

векторов

x e

4e

e

,

y 2e e e

и z 2x

3y

в обоих базисах.

1

2

a

3

, a

1

2

3

5. Пусть

, a

и b , b

, b

– два базиса пространства

R3

и

1

2

3

1

2

3

1

0

0

0

2

1

– матрица перехода от первого базиса ко второму.

T

1

1

1

x 2a 3a

a

y 3b b b

Найти координаты

векторов

и

1

2

3

1

2

3

1. Являются ли линейно зависимыми векторы

а) a 4,1, 2 ,

b 2,1,1 ,

c 2, 3, 1 ;

б) a 5, 2,1 ,

b 1, 2, 3 , c 1, 1, 3 .

2. Доказать, что векторы

p, q, r

образуют базис и разложить по

нему вектор a:

a)

p 2, 2, 3 ,

q 1, 2, 3 ,

r 1,1,1 ,

a 3, 0, 2 ;

б)

p 3, 2,1 , q 1,1, 2 , r 2,1, 3 , a 11, 6,5 .

3. Дан базис e , e

, e .

Проверить, образуют ли базис следующие

1 2 3

системы векторов: а)

e e ,

e

e

, e

e ;

б) e e

, e

e

, e

e ;

1

2 2

3 1

3

1

2 2

3 1

3

в) 3e1, e1 e2, e3 e2.

а

1, 2, 3

а

4, 2, 8 ,

4. Убедиться,

что

векторы

,

а 1, 4, 1

1

2

образуют базис векторного пространства

R3. Найти

3

, а

, а .

координаты вектора b 1, 0, 5 в базисе a а

а) а

1, 2, 3 , а

4, 2, 8 , а

1

2

3

1, 4, 1 ,

b 1, 0, 5 ;

1

2

3

б) а1

(1,1,1),

а2 (1, 2,1),

а3 (1, 2, 2),

b (1,1, 0).

5. В

пространстве

R3

задан

вектор

x

и

векторы

e , e

, e

столбцами координат в базисе e e , e

, e

1

2

3

и вектор y

столбцом

координат в базисе e (e ,

e , e

1

2

3

):

1

2

3

x

1

e

5

e

2

,

e

2

у

1

e

4

,

1,

3

1

,

е

2

.

1e

2e

0

3e

3

1

2

1

Найти координаты вектора

x

в базисе e

и координаты векто-

ра y в базисе e.

6. Записать матрицу перехода от базиса e1, e2 , e3, e4

к базису:

а) e2 , e3, e4 , e1; б) e2 , e1, e3, e4;

в) e1, e1 e2 , e2 e3, e3 e4.

4. а)

13

4

8

ложить

нельзя.

х

а

2b 3с;

б)

х

15 а

3 b

с.

15

1

3

2

3

10, 3 . 6.

1, 3,1 .

5. Te e

2

, Te e

1

,

a

a

1

1

II уровень

1. а)

2; б)

1; в)

1.

2.

а, b, с

линейно зависимые,

5

7

1

22

0

1

3. Te e

а

, b – базис,

с

4

а

4 b.

14

17

7

.

17

13

17

15

1.

а) да; б) нет. 2. а) a p 3q 4r; б) a 2 p 3q r.

3.

а) да; б) нет; в) да. 4. a) b 2, 0,1 ,

б) b 1,1, 1 .

5.

x

13 33, 42

33, 7

33 ,

y

e

3, 8, 5 .

e

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1 0

0

1 0

0

0

, б)

T

1

0

0

0

,

0

1 1

0

6. а) T

0

1 0

0

0

в) T

0

0 1

.

0

1 0

1

0

0

1

0

0

0

0

0 0

0

1

1

5.

Математика в примерах и задачах : учебное пособие /

Л. Н. Журбенко [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2009. – 373 с.

6.

Рябушко, А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................

3

1.

ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.......................................

4

Задания для решения в аудитории....................................................

9

Задания для самостоятельного решения........................................

11

2.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ..............................

13

Задания для решения в аудитории..................................................

18

Задания для самостоятельного решения........................................

20

3.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ...............................

22

Задания для решения в аудитории..................................................

28

Задания для самостоятельного решения........................................

30

4.

БАЗИС. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ПО БАЗИСУ.

МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА

К ДРУГОМУ.........................................................................................

31

Задания для решения в аудитории..................................................

38

Задания для самостоятельного решения........................................

40

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................

43