Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра

3. Вектор c

перпендикулярен к векторам a и b, угол между a

и b равен 30 .

Зная, что

a

6,

b

3,

c

3, вычислить (a, b, c ).

плоскости векторов e

1, 0,1 и e

1,1,1 .

1

2

3, 2,

1 ,

F3 4,1, 3 ,

5. Даны три силы:

F1 2, 1, 3 ,

F2

Задания для самостоятельного решения

1.

Найти

вектор

c,

ортогональный векторам

a (2, 3,1)

и

b (1, 2, 3)

и удовлетворяющий условию (c, i 2

j 7k ) 10.

2.

Дан треугольник с вершинами A(2, 1, 2), B(1, 2, 1), C 3, 2,1 .

Найти его площадь.

3.

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точ-

ках A(2, 1,1), B 5, 5, 4 , C 3, 2, 1 и D(4,1, 3).

4.

Даны

вершины

тетраэдра

A(2, 3,1), B 4,1, 2 ,

C 6,3,7 ,

D( 5, 4, 8). Найти его высоту, опущенную из вершины D.

5.

Дана сила F (2, 2, 9) и точка ее приложения А (4, 2, 3).

Вычислите величину

M

момента M этой силы относительно точ-

ки O (2, 4, 0).

Ответы:

I уровень

1.

а (–3, 5, 7); б) (–6, 10, 14); в) (–12, 20, 28). 2. а)

3; б) 3

3;

в) 10

3. 3. а) 2 k i ; б) 3. 4. а)

6; б) 4; в) 12 2. 5. 2

6. 6. 50

2.

7. 5. 8. 6. 9. а) 1; б) 4. 10.

16

. 11. а) да; б) нет; в) да. 12. да.

3

14

сложения и умножения называется векторным пространством Rn.

Система векторов x1, x2 , , xn векторного пространства Rn на-

зывается линейно независимой, если равенство

1x1 2 x2 n xn 0

(4.1)

справедливо тогда и только тогда, когда 1 2 n 0.

В про-

x x1e1 x2e2 xrer .

(4.2)

Равенство (4.2) называется разложением вектора x

по базису

e1, e2 , , er ,

а числа x1, x2 , , xr – координатами вектора x в дан-

e e1, e2 , , en

и e e1 , e2 , , en . Разложим векторы базиса e

по базису e:

e

t e

t

e

... t

nj

e

,

j 1, 2, , n. .

j

1 j 1

2 j 2

n

Матрицу

t11

t12

...

t1n

T

t

21

t

22

...

t

,

...

2n

e e

... ...

...

tn2

...

tn1

tnn

матрицы перехода Te f от базиса e к базису f

и Tf g от базиса f

к базису g. Тогда

Te g Te f Tf g .

(4.3)

хода от базиса

f

к базису е:

T

T 1

. Координаты вектора v

в базисах e и f

f e

e f

связаны формулами:

v

e

T

v

f

,

v

f

T

v

e

T 1

v

e

,

(4.4)

e f

f e

e f

где ve , vf – вектор-столбцы координат вектора v

в базисах e

и f

соответственно.

Если векторы базисов e и е

заданы координатами в некотором

T

T

0

T 0

e

T 01 T 0

e

,

(4.5)

e e

e e

e

e e e

Пример 1. Показать,

что

векторы a 2, 0,1 ,

b 1, 1,1 ,

2d

d

2

d

3

3,

1

d2

d3 1,

d

d

2

2d

3

1.

1

Решая последнюю систему, получим d1 1, d2

2, d3 1.

Сле-

довательно d

a 2b c,

т. е. в базисе a, b, c вектор d

имеет ко-

ординаты: d

1, 2, 1 .

e

2-й способ. Найдем матрицу перехода от стандартного базиса

(1, 0, 0), e

(0,1, 0), e

(0, 0,1) трехмерного

пространства R3

1

2

3

к системе векторов a, b, c.

2

1

1

T

0

1

1 .

e a

1

1

2

Так как определитель матрицы перехода

Te a

2

1

1

2 1 10 2

0

1

1

1

1

2

не равен 0, то матрица

Te a

невырожденная и, следовательно,

a, b, c является базисом.

Найдем координаты вектора d в базисе a, b, c:

2 1

1 1

3

1

1

0 3

1

d T 1

d

0 1

1

1

1

1 3

2

1

2 .

a

e a

e

2

1 1

2

1 1

2

1

1

1

Таким образом d a 2b c.

Пример 2. Разложить вектор S a b

c

по трем некомпланар-

ным векторам: p a b,

q a

b,

r 2b

3c.

решая

которую,

получим

2 , 3 ,

3.

Следовательно

2

3

3

5

5

5

S 5 p 5 q

5 r.

f1

Пример 3.

В двумерном

пространстве

R2

заданы два базиса

(3, 2),

f2 (1,1)

и

g1

(1, 2), g2 ( 1,1). Найти матрицу пере-

хода Tf g

от базиса f к базису g и координаты вектора a (6,9)

в каждом из них.

e1 (1, 0), e2

Решение.

Пусть

(0,1) – стандартный базис дву-

мерного

пространства

R2.

Так

как

f1 3e1 2e2,

f2 e1 e2 и

g1

e1 2e2, g2 e1 e2,

то матрицы перехода от базиса e к бази-

сам f и g имеют вид:

T

3 1 ,

T

1

1 .

e f

2

e g

1

1

2

По свойствам 3 и 4 матриц перехода имеем:

T

T

T

T 1

T

3

1 1

1

1

f g

f e

e g

e f

e g

2

1

2

1

1

1

1

1

1

2

2

2

5

.

3

1

4

В координатном базисе e координатный столбец

6

совпа-

ae

9

дает с вектором a.

Найдем координаты этого вектора в базисе f.

a

f

T 1

a

e

3

1 1 6

1

1

6

3

.

e f

3

2

1

9

2

9

15

Действительно

a

e

6

3

3

15

1

3 f T

15

f T .

9

2

1

2

1

a

g

T 1

a

f

1

2 1 3

1

5

2 3

5

,

f g

5

3

4

15

4

1 15

1

a

g

T 1

a

e

1

1 1

6

1

1

1 6

5

.

e g

9

3

2

1

2

1 9

1

Действительно

ae

6

1

1

T

T

5

1

1

5 g1

1 g2 .

9

2

Пример 4.

Матрица

перехода

от

базиса

e e , e

к базису

1

2

имеет вид Te f

2

3

Найти координаты вектора

f f1,

f2

3

.

c 2e1 3 e2 и векторов e1, e2

4

в базисе f.

Решение. Найдем матрицу T 1

обратную к матрице перехода

e f

T 1

2

3

1

4

3 .

e f

3

4

3

2

Так как

c 2 e

3 e

,

то в базисе e

вектор

c 2, 3 . Найдем

1

2

его координаты в базисе f:

c

f

T 1

c

e

4

3

2

17

,

e f

3

2

3

12

Так как e 1 e

0 e

,

то в базисе e

вектор e

1, 0

. Найдем

1

1

2

1

его координаты в базисе f:

e

T 1

e

4

3

1

4

,

1f

e f

1e

3

2

0

3

e1 4 f1 3 f2.

Так как e 0 e

1 e

,

то в базисе e

вектор e

0,1 . Найдем

2

1

2

2

его координаты в базисе f:

e

2f

T 1

e

2e

2

3 1

0

4

3

0

3 ,

e f

4

3

3

1

2

1

2

2. При каком значении векторы

p 1, 2,1 ,

q 3,1, 0 ,

r , 5, 2

будут линейно зависимы?

3. Даны:

а) a 2, 3 ,

b 1, 2 ,

c 9, 4 ;

б) a 3, 2 ,

b 2,1 ,

c 7, 4 ; в) a 1, 2 , b

4, 8 ,

c 3,1 .

Можно

ли разложить c

по a и b ? Если да, то записать это разложение.

4. Доказать, что векторы а, b, с образуют базис и разложить по

этому базису вектор x:

а) a 1,1,1 ,

b 1,1, 2 ,

c 1, 2, 3 , x 6, 9,14 ;

б) a 2, 1,1 , b 1, 3, 2 , c 2, 4,1 , x 2,1, 3 .

5. Пусть e

, e

– базис пространства R2 и e e

e ,

e 3e

2e .

1

2

1

1

2

2

1

2

Показать, что

e , e – базис пространства R2. Найти матрицу пере-

1

2

координаты вектора a e 4e

в базисе e , e .

1

2

1

2

6.

Пусть в трехмерном векторном пространстве R3 задан орто-

нормированный базис i , j, k. Показать, что векторы e1 i j 2k ,

e2

2i j,

e3 i

j k образуют базис. Найти координаты век-

тора a 6i

j 3k

в базисе e1, e2 , e3.

II уровень

1.

Векторы a и b линейно независимы. При каком будут ли-

нейно зависимы векторы: а)

a 2b и a b;

б) 1 a b и 2b;

в) a b и a b.

2.

Векторы n и m линейно независимы.

Являются ли линейно

зависимыми векторы a m

3n,

b m

n, c

3m 2n ? Можно ли

a

и b принятьза базис? Еслида, торазложить c по векторам a и b.

e

3.

Найти матрицу перехода от базиса e1 ( 2,1,1), e2 (1, 1, 3),

(1, 2, 1) к базису e ( 1, 2, 3), e

(2,1, 2), e

(0, 2,1).

3

1

2

3