Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра

2.

Векторы a, b, c

попарно образуют друг с другом углы,

каж-

дый из которых равен 60 . Зная, что

a

4,

b

2

и

c

6, опреде-

лить модуль вектора p a b c.

3.

Найти угол между векторами:

а) a 2, 4, 4

и b 3, 2, 6 ;

б) a 1, 3,

6

и b 1,1, 0 ;

в) a 2,1,1

и b 1, 0, 0 .

4.

В треугольнике с вершинами в точках

A(3, 2, 3), B(4, 3, 3)

и С(3,1, 4)

найдите величину его угла при вершине А и длину ме-

дианы AN.

5.

Найти вектор x , удовлетворяющий условиям:

а)

x

коллинеарен a 3, 2, 2

и x, a 34;

x, 2i 3 j 6k 2

б)

x

перпендикулярен

a 3,1, 5 , при этом

и x, k

6;

в)

x

перпендикулярен оси Оy, x, a 5,

x, b 3, где a 2,1, 3 ,

b 1,2,2 .

6.

Даны векторы a 1, 3, 4 , b 3, 4, 2

и c 1,1, 4 . Вы-

числить пр

a.

b

c

a

b

a b

7.

Даны такие векторы

a и b, что

13,

19,

24.

Найти

a b

.

a

b

8.

Пусть

и

–

единичные

векторы.

Вычислить

3a 4b, 2a

5b ,

если

a

b

3.

9. Длины ненулевых векторов a

и b

равны. Найдите угол меж-

ду векторами a и b, если векторы

p a

3b

и q 5a 3b ортого-

нальны.

10. Даны силы M 3, 4, 2 , N 2, 3, 5

и P 3, 2, 4 , при-

Ответы:

I уровень

0.

1. 10. 2. a) 3; б) –10; в) 2

7. 3. 5. 4. 20.

5. AC, BD

6. 7, 13. 7.

.

8.

6.

9.

2. 10.

–1.

11. a 0, 3

5, 6

5 ,

a 0, 3 5, 6

3

5 .

II уровень

1. а) –7; б) 13. 2.

.

3.

3

,

3

,

3

. 5.

5

, 5,

15

4

a

b

. 4. u

2

4

2

u

.

6.

3.

2

2

1. 9. 2. 10.

3. а) arccos

5

; б)

;

в)

3

.

4. 2 3, 2 2.

21

4

4

5. а) 6, 4, 4 ;

б) 8, 6, 6 ;

в) 1, 0,1 .

6. 5.

7. 22. 8. 21 2.

9. arccos 7

9 . 10. 13.

Векторным произведением вектора a

на вектор b называет-

ся

вектор

длина

и

направление

которого определяются

a, b

,

условиями:

1.

a, b

a

b

sin ,

где – угол между a и b.

2.

a, b

a,

a, b

b.

3.

a, b, c

– правая тройка векторов.

Свойства векторного произведения:

1.

;

a, b

b, a

2.

b, c

c

[a, c];

a

[a, c] b, c

,

a, b

a, b

3.

a, b

a, b

a, b

;

4.

0

a b (равенство нулю векторного произведения

a, b

означает коллинеарность векторов).

Геометрический смысл векторного произведения: длина векто-

ра

численно равна площади параллелограмма построенного

a, b

на векторах a

и b,

приведенных к общему началу

Физический смысл векторного произведения: момент

M си-

лы F, приложенной к точке A относительно точки O, есть вектор-

т. е.

ное произведение векторов OA

и F,

.

M OA, F

Если вектор a a , a

2

, a ,

b b , b , b

, то

1

3

1

2

3

a, b

i

j

k

a

a

2

a

3

.

(3.1)

1

b1

b2

b3

ментов силы относительно точки.

Смешанным произведением a, b, c

трех векторов называется

число, определяемое следующим образом:

a, b, c

.

a, b

, c

Свойства смешанного произведения:

1. a, b, c b, c, a c, a, b . При циклической перестановке

сомножителей смешанное произведение не изменяется.

2. a, b, c b, a, c c, b, a a, c, b .

При перестанов-

3.

1a1 2a2 , b, c

1 a1, b, c 2 a2, b, c , где 1, 2 R.

4.

a, b, c 0 при a 0, b 0, c

0 тогда и только тогда, когда

a, b,

c – компланарные векторы.

5.

Если a,b,c 0 ,

то векторы

a, b, c образуют базис в трех-

6. Если

a, b, c 0, то векторы

a, b, c образуют правую трой-

ку; если a, b, c 0

– левую.

a a ,a

Если

векторы

заданы

своими

координатами:

2

,a

3

,

b b , b , b

, с с , с , с , то

1

1

2

3

1

2

3

a, b, c

a1

a2

a3

b1

b2

b3

.

(3.2)

c1

c2

c3

Геометрический смысл смешанного произведения: абсолют-

ное значение

a, b, c равно объему V параллелепипеда, постро-

енного

на

векторах

a, b, c, приведенных

к

общему

началу:

V

a, b, c

.

Объем пирамиды, построенной на векторах a, b, c

1

равен V

6

a, b, c

.

Смешанное произведение можно применять при вычислении

объемов параллелепипеда, пирамиды, длин их высот.

Примеры решения задач

Пример 1.

Найти

координаты

векторного

произведения

3b, 2a 4b

, если a 3i j 2k ,

b

2i j k.

2a

Решение.

Найдем

2a 3b (0,1,1)

и

2a 4b 2, 2, 0 .

Век-

торное произведение, по определению, равно:

i

j

k

1

1

0 1

0

1

0 1 1

i

2

0

j

2 0

k

2

2

2i

2 j 2k.

2

2

0

p, q

p

q

sin p,q

2 3

2

3;

2

Пример 3. Силы F1 2i

j 5k и F2

3i

5 j k

приложены

к точке

A 3, 4, 1 .

Вычислить величину момента равнодействую-

щей этих сил R

относительно точки B 1, 3, 0 .

Решение.

Найдем силу

R F1 F 2

i 4 j 4k

и плечо

вычисляется по формуле:

BA 2i

j k. Момент сил

M

i

j

k

M

R, BA

1

4 4

8i 9 j

7k ,

2

1

1

а его модуль

Пример 4.

M

64 81 49

194.

Даны координаты вершин треугольной пирамиды:

A 1, 2, 3 ,

B 0,1, 2 , C 1,1, 3 ,

D 0, 0, 3 . Найти объем пирамиды,

ее высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором

AD

и гранью, в которой лежат векторы АВ

и АС.

Решение. Найдем векторы:

0, 1, 0 ,

1, 2, 0 .

AB 1, 1, 1 ,

AC

AD

Объем пирамиды

1

1

1

1

1

1

V 6 AB,

AC,

AD

6

0

1

0

6 .

1

2

0

С другой стороны, объем пирамиды V 1 Sосн h,

где Sосн

– пло-

3

щадь треугольника, построенного на векторах АВ и АС:

S

1

.

AB, AC

i

j

k

2

1

1

2

AB, AC

1

1

1

i

k , S

осн

AB, AC

i

k

.

2

2

2

0

1

0

Тогда высота h

3V

1

2

.

Sосн

2

2

arccos

AD, AB, AC

,

2

AD

AB, AC

так как вектор

AB,

AC перпендикулярен грани, в которой лежат

векторы AB и

AC.

Угол между этим вектором и вектором AD

находим по формуле cos

a b

. Очевидно, что искомый угол:

a

b

Итак:

arccos

1

arccos

1

.

5

2

2

10

2

Пример 5.

Проверить,

лежат

ли в

одной

плоскости точки

A 0, 0,1 , B 2, 1, 3 , C 1, 2, 2 ,

D 3, 4, 8 . Найти линейную за-

и

висимость вектора AB

от AC

AD, если это возможно.

Решение. Найдем три вектора:

a AB,

b AC,

c AD.

Найдем линейную зависимость

от

AB

AC и

AD: a b c.

Задания для решения в аудитории

I уровень

1. Заданы векторы a1 (3, 1, 2)

и a2

(1, 2, 1). Найти коорди-

наты векторов: а) a , a

; б)

2a

a , a

;

в) 2a

a

, 2a

a

.

a

a

1

2

(a

, a

1

2

2

1

2

1

2

2.

1,

2

и

) 2 / 3.

Вычислить:

а)

a , a

;

1

2

1

2

3a

, 3a

a

1

2

б)

2

a

a

,

a

2a

; в)

a

.

1

2

1

2