Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра

2. Даны векторы a 3, 4, 5 ,

b 1, 0, 2 . Найти

c 2a 5b,

d

3a 2b.

II уровень

1.

В треугольнике ОАВ даны векторы

a OA,

b OB. Найти

векторы MA, MB, MO, где М – середина стороны АВ.

2.

Найти координаты вектора a, образующего равные острые

углы с осями координат, если

a

2 3.

3.

Два вектора a 2, 3, 6

и b 1, 2, 2 приложены к одной

точке. Определить координаты вектора c,

направленного по бис-

имно перпендикулярные направления. Определить величину их

равнодействующей R, если известно, что

M

2 H,

N

10 H и

P

11 H.

5. Зная одну из вершин C 5, 1,1 треугольника ABC и векторы

AB 0, 3, 5 ,

BC 4, 2, 1 , совпадающие с его сторонами, найти ос-

1. Точка A 3,1, 5

является вершиной треугольника ABC, векто-

2, 2, 3

совпадают с его сторонами. Найти ос-

ры AB 1, 1, 2

, BC

тальные вершины и вектор AC.

2. Найти длину стороны BC треугольника ABC, если

AB 1, 1, 2 ,

AC 7, 2, 4 .

3. Векторы

AB 2,6, 4

и AC 4,2, 2 совпадают со сторо-

АМ, BN, CP.

4. Векторы

BC a и

CA b служат сторонами треугольника

ABC. Выразить через a и b векторы AM ,

BN

и CK, совпадаю-

щие с медианами треугольника ABC.

5. Вектор a

образует

с осями Ox и Oy углы в 45 . Найти:

II уровень

1.

1

1

1

MA

2

a b ,

MB

2

b

a

, MO

2

a b .

2.

a 2, 2, 2 .

3.

c 3,15,12 .

4.

R

15 H.

4 .

5.

A 1, 6, 3 , B 1, 3, 2 , CA 4, 5,

Задания для самостоятельного решения

1.

B 4, 0, 7 , C 6, 2,10

3,1, 5 .

, AC

2.

7.

(3, 4,

3),

(0,

3.

AM

BN

5, 3), CP ( 3, 0,1).

1

1

1

4.

AM

2 a

b, BN

a

2 b, CK

2

b

a

.

5.

а) 90о; б) (

2,

2,0).

(2.1)

a, b

a

b

cos a,b

a

прab

b

прb a.

a, b a1b1 a2b2 a3b3.

(2.2)

C помощью скалярного произведения можно находить:

1)

длину вектора

a

a, a ;

2)

косинус угла между векторами:

a, b

cos a,b

a

,

a, b 0

a

b;

b

a, b

a, b

пр b

, пр a

.

a

b

b

a

что

1,

о

m

n

m,n

60 .

Решение.

Диагонали

параллелограмма

есть

векторы

и

Так

как

c

a

b

5m 2n

1

1

d a

b m.

1 1

, то

m,n

m

n

cos m,n

2

2

2

c

5m

2n

5m 2n

25 m, m

20 m, n 4

n, n

29 10 4

43,

1.

d

m

Пример 2.

Найти

угол

между

векторами

и

a 2m 3n

n таковы, что

3,

4,

b

4m

3n, где m и

m

n

m,n 3.

3, 4, 2 ,

2,

3, 2 .

а) a

m

n,

b m

2n,

m

n

б)

3,

a

2m

3n, b

4m

3n,

m

n

4, m,n 3.

Решение. Косинус угла между векторами определяется по

формуле:

a, b

cos a,b

.

a

b

а) Найдем координаты векторов a и b:

1,1, 0 ,

a

m

n 3 2, 4 3, 2 2

3 2 2, 4 3 2, 2 2 2 1, 2, 2 .

b

m

2n

a

1 2 12 02 2,

b

12 2 2 22 3.

Тогда

a, b

3

2

cos a,b

a

b

.

3

2

2

Угол между векторами a и b:

2

3

a,b arccos

.

2

4

a

2m

3n,2m 3n

4 m,m 12

m,n

9 n,n

4

2

12

cos

9

2

4 9 12 3 4

1

9 16

m

m

n

3

n

2

108 6

3.

b

4m 3n, 4m 3n

16 m, m 24

m, n

9 n, n

16

2

9

2

16 9

24 3 4

1

9 16

m

24

m

n

cos 3

n

2

Тогда

a, b

108

3

cos a,b

.

6 3 12

2

a

b

Угол между векторами a и b:

3

5

a,b

arccos

.

2

6

Решение.

Обозначим

вектор

b = b1, b2 , b3 ,

тогда

из условия

задачи:

b 2b

2b

2,

1

2

3

b

b2

b3

1

2

2

или b

2b ; b

2b ; 9b

2; b

2 , тогда

b

b

4 .

2

1

3

1

1

1

9

2

3

9

2

,

4

,

4

Итак: b

9

9

9

.

Пример 4. Найти проекцию вектора a 3i

4 j k на направле-

ние вектора b i j.

a, b 31 4 1 ( 1) 0 7

b

Решение.

Так

как

и

12 12 02 2, то

a, b

7

7 2

прba

.

b

2

2

Пример 5.

Даны векторы: a 3, 3, 2 ,

b 4,1, 0 . Найти

,

,

a

b

a,b ,

прba,

прa b.

a

9 9 4

22,

b

16 1

17.

a, b

15

15

Так как cos a,b

a

b

,

то угол между век-

22

17

374

15

торами a

и b равен a,b arccos

.

374

Найдем проекцию вектора a на направление вектора b:

прb a

a, b

15

.

b

17

a, b

15

прa b

.

a

22

Пример 6. На материальную точку действуют силы

F1 j,

F2 i , F3 k. Найти работу равнодействующей этих сил R при

перемещении точкиизположения A 2, 1, 0 в положение B 4,1, 1 .

Решение.

Найдем

силу

R F

F

F

i j k

и вектор

перемещения:

1

2

3

искомая

работа

AB

2i 2 j

k.

Tогда

1 2 1 2 1 1 3.

A R, AB

Задания для решения в аудитории

I уровень

1. Найти

скалярное

произведение векторов

a 6i 3 j 4k и

b 4i 2 j 2k.

b

2, (a,b) .

2. Известно, что

a

1,

Найти: a) (a, a 2b);

3

б) (a 2b, 3a b);

2a 3b

.

зная, что m и n – взаимно

3. Найти длину вектора a

3m

4n,

перпендикулярные орты.

a

b

a b

4. Даны векторы a

и b

такие, что

11,

23,

30.

Найти

a b

.

A(1, 2, 3), B (7, 3, 2),

5. Даны

вершины

четырехугольника:

C( 3, 0, 6), D (9, 2, 4).

Доказать, что его диагонали взаимно пер-

векторах a 2 p q

и b p 2q, где

p

q

1

и ( p,q)

.

3

7.

Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, по-

строенного на векторах a 6, 1,1 и b 2, 3, 1 .

b

8.

Вычислить проекцию вектора

a 5, 2, 5 на ось вектора

2, 1, 2 .

9.

Даны силы F1 i j k и F

2

2i j 3k. Найти работу их

10. Определить, при каком значении векторы

3a b

и a

2b

будут взаимно перпендикулярными, где

2,

.

a

b

2 и (a,b)

4

11. В плоскости Oyz найти вектор a,

перпендикулярный векто-

ру b 2, 2,1 и имеющий с ним одинаковую длину.

II уровень

1. Векторы a

и b взаимно перпендикулярны, а вектор c

образует

с ними углы .

Зная, что

a

b

2,

c

1, найти: a)

(2a b, c

a);

23

б) (a b c) .

a 3p 2q

b p 5q,

2. Вычислить угол между векторами

и

где p

и q

– единичные взаимно перпендикулярные векторы.

3. Длякакихвекторов a и b векторы a b и a b ортогональны.

4. Найти

вектор u, перпендикулярный

векторам

a i k и

b 2

j k ,

если известно, что его проекция на вектор c i

2 j 2k