Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Определим постоянные интегрирования. Для этого используем

6.14 Определение прогибов и углов поворота в балках методом начальных параметров

Если балка постоянной жесткости EJ и имеет несколько участков, то удобнее прогибы и углы поворота определять по методу начальных параметров. Возьмем приближенное дифференциальное уравнение

Учтем, что производная от прогиба равна углу поворота

Проинтегрируем левую и правую части уравнения

81

Получена интегральная форма функции прогибов балки (196). Здесь V0 и 0 – начальные параметры. На основе полученной

зависимости строится метод начальных параметров.

Для взятия интеграла в уравнении (196) от отдельных наиболее часто встречающихся видов нагрузок рассмотрим балку, загруженную одним сосредоточенным моментом, одной сосредоточенной силой и одной равномерно распределенной нагрузкой (рис.65). Обозначим координаты точек приложения сосредоточенного момента и сосредоточенной силой,

82

zF

zq

z

l

Рис.65. Балка, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой

Суммируя интегралы от всех видов нагрузок и полагая, что к балке могут быть приложены несколько нагрузок одного и того же вида,

получим универсальное уравнение упругой оси балки.

Преимущества метода начальных параметров заключается в том, что нам приходится находить только две постоянные интегрирования. Особенно это преимущество заметно, если на балке несколько участков. Однако, метод начальных параметров имеет и недостатки – балка должна быть постоянной жесткости на всей ее длине; слагаемые в универсальном

83

уравнении упругой оси балки могут отличаться на порядки (200). Поэтому при использовании метода начальных параметров предъявляются определенные требования.

Правила и требования.

1)Начало координат всегда выбирать в левой крайней точке балки.

2)Начальные параметры равны соответственно прогибу и углу поворота сечения на левом конце балки.

3)При вычислении прогибов или углов поворота сечения балки учитывать только слагаемые, содержащие силовые факторы, приложенные левее рассматриваемого сечения.

4)Знак перед слагаемым совпадает со знаком изгибающего момента в рассматриваемом сечении, вызванного силовым фактором, содержащимся в этом слагаемом.

5)Где-то начавшаяся равномерно распределенная нагрузка не должна заканчиваться до правого конца балки.

Уравнения углов поворота получается взятием производной от уравнения для прогибов (200).

П р а в и л о з н а к о в.

Прогиб вверх и поворот против хода часовой стрелки считаются положительными.

П р и м е р. Определение прогибов в балке методом начальных параметров (рис.66, а).

Подготовим балку согласно требованиям метода начаоьных параметров: начало координат поместить в левой крайней точке балки; продольную ось направить вправо; ось V направить вверх; пронумеровать участки балки слева направо; дополнить нагрузку q и приложить

YB =16 кН;

MB q 4 6 YA 6 M F 2 12 4 6 YA 6 48 36 2 0; (203)

YA =68кН.

84

а)

Рис. 66 Шарнирно опертая балка, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой

Составим универсальное уравнение упругой оси балки

85

Подставляя данные в выражение (203) вычислим прогиб в точке D (z = 6 м, участок III)

Тема 7 Напряженное и деформирование состояние в точке

7.1 Понятие о напряженном состоянии в точке

Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений действующих на всевозможных площадках, проведенных через эту точку.

В механике твердого деформируемого тела различают три основных вида напряженных состояния – линейное (одноосное), плоское (двуосное) и объемное (трехосное). Дадим определения этим видам напряженных состояний. Для этого в нагруженном теле около внутренней точки вырежем элемент (рис.67).

Если две пары противоположных площадок элемента свободны от напряжений, то имеет место линейное напряженное состояние.

Если одна пара противоположных площадок элемента свободна от напряжений, то имеет место плоское напряженное состояние.

86

Если нет ни одной пары противоположных площадок элемента свободных от напряжений, то имеет место объемное напряженное

состояние.

7.2 Правила расстановки индексов и знаков

Существуют общие правила расстановки индексов и знаков для нормальных и касательных напряжений. Но в некоторых случаях имеет место и отступление этих общих правил. Рассмотрим общие правила.

Нормальное напряжение имеет один индекс, совпадающий с обозначением оси, параллельно которой действует само напряжение.

Нормальные напряжения, вызывающие растяжение, считаются положительными, а сжатие – отрицательным.

Касательные напряжения имеют два индекса. Первый индекс совпадает с обозначением оси, по направлению которой действует само напряжение. Второй индекс совпадает с обозначением оси, параллельно которой направлена нормаль площадки, где действует напряжение.

Если направление касательного напряжения и внешней нормали площадки, где действует напряжение, одновременно совпадают или одновременно не совпадают с положительными направлениями соответствующих осей координат, то такие касательные напряжения считаются положительными.

Отметим, что в сопротивлении материалов принято, что знак касательного напряжения в балке от поперечной силы совпадает со знаком поперечной силы.

87

Рис. 68. Пример обозначений и расстановки знаков касательных напряжений

7.3 Напряжения на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии

Рассмотрим элементарный параллелепипед, испытывающий плоское напряженное состояние (рис.69). Пусть под углом проведена площадка. Требуется получить выражения для нормального и касательного напряжений на этой наклонной площадке.

Установим зависимость площадей наклонной и координатных площадок

88

Рис.69. Напряжения, действующие на грани элемента и на наклонную площадку

Подставим в уравнение (215) зависимость площадей (211) и получим

Окончательно имеем выражения для вычисления нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии.

σα σX cos2α σY sin2α τXY sin2α;

89

7.4 Главные площадки и главные напряжения

Если оси X1 и Y1 (рис.69) поворачивать, то при каком-то положении на наклонной площадке нормальное напряжение достигнет экстремального значения. Найдем положение такой площадки.

Слагаемые уравнения (220) умножим на 2, разделим на cos2α и на ( X– Y) получим формулу для определения угла наклона такой особенной площадки, на которой нормальное напряжение принимает экстремальное значение (221).

Сравнивая выражение (217) и уравнение (220), убеждаемся, что касательные напряжения на этих площадках равны нулю.

Эти площадки настолько важны в механике твердого деформированного тела, что им присвоено специальное название.

Три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения принимают экстремальные значения, называются главными площадками.

Нормальные напряжения, действующие на главных площадках,

называются главными напряжениями.

Главные напряжения индексируются цифрами. Для удобства и сокращения записей принята индексация главных напряжений по условию

Главные напряжения для плоского напряженного состояния вычисляются по формуле (без вывода)

90