Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

прочность очень важно знать положение нейтральной оси на ее поперечном сечении.

П р и м е р распределения нормального напряжения по высоте сечения тавровой балки приведен на рисунке 57.

+

0 X

–

max в сжатой части

Рис. 57. Характер распределения нормальных напряжений по высоте сечения при чистом изгибе балки

6.9 Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим элемент, взятый внутри нагруженного тела (рис.58). Пусть к площадкам этого элемента приложены только касательные напряжения. Обозначим касательное напряжение, действующее на площадках с нормалью X буквой τY, а на площадках с нормалью Y буквой

τX.

Элемент (рис.58) находится в состоянии равновесия. Составим уравнение равновесия – сумма моментов относительно оси Z равна нулю.

71

Рис. 58. Элемент, на площадках которого действуют только касательные напряжения

По двум взаимно перпендикулярным площадкам всегда действуют равные по величине касательные напряжения, направленные так, что поворачивают элемент в противоположных направлениях.

6.10 Касательные напряжения при поперечном изгибе. Формула Журавского

При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки кроме изгибающих моментов появляются еще и поперечные силы, а, следовательно, и касательные напряжения. Согласно закону парности касательных напряжений и в продольных сечениях балки будут появляться касательные напряжения. Эти напряжения вызывают сдвиг продольных слоев (волокон) относительно друг друга, что приводит к искривлению поперечных сечений.

Искривление поперечных сечений называется депланацией сечений.

Экспериментально установлено, что величина депланации сечения зависит от отношения длины балки к высоте ее сечения.

72

Рис.59. Депланация поперечных сечений за счет касательных напряжений

Различают балки по отношению ее длины к высоте поперечного

Установлено, что депланация поперечных сечений в тонких балках незначительная и ею можно пренебречь. Поэтому формула (149) для нормальных напряжений в тонких балках при поперечном изгибе вполне приемлема.

Расчет толстых балок (плит) выполняется методами теории упругости и в сопротивлении материалов не рассматривается.

Рассмотрим балку, испытывающую поперечный изгиб.

Qy Qy

Эп. Qy

Эп. Mx

Mx

Mx+dMx

Рис.60. Балка, испытывающая поперечный изгиб

73

равнодействующую касательных напряжений в горизонтальном сечении (рис.61, а) можно вычислить по формуле (157)

Учитывая закон парности касательных напряжений, касательные напряжения и в поперечном сечении балки равны (рис.61, в)

Q S0

= y X , (161)

JX b

где Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении балки;

SX0 – статический момент отсеченной части сечения относительно

нейтральной оси X;

Jx –момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси X;

b –ширина сечения, на уровне точки в которой вычисляется касательное напряжение.

Отсеченная часть – это часть сечения, расположенная выше или ниже точки, где вычисляется касательное напряжение.

Максимальные касательные напряжения при поперечном изгибе появляются в точках, расположенных на нейтральной оси.

Полученная формула называется формулой Журавского и предназначена для вычисления касательных напряжений в произвольной точке сечения при поперечном изгибе балки.

П р и м е р ы распределения касательных напряжений по высоте сечения балки при ее поперечном изгибе.

75

Y Y

max

Рис.62. Примеры распределения касательных напряжений по высоте сечения

6.11 Проверка прочности балки при поперечном изгибе

Учитывая, что максимальные нормальные напряжения появляются в крайних волокнах балки, то есть волокнах максимально удаленных от нейтральной оси, получим условие прочности по нормальным напряжениям.

Так как дробь JX ymax в знаменателе выражения (162) зависит только

от формы и размеров сечения, то эту дробь так же можно считать геометрической характеристикой сечения балки. Обозначим ее одной буквой

и назовем эту величину осевым моментом сопротивления сечения.

Момент сопротивления характеризует сопротивление сечения моменту и должен быть в знаменателе. Тогда условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид

где Mx – изгибающий момент в рассматриваемом сечении (обычно берут его значении из эпюры и по абсолютной величине);

Wx – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки, измеряется в см3 и может быть только больше нуля;

R – расчетное сопротивление материала балки.

76

Максимальное касательное напряжение при поперечном изгиба балки появляется на уровне нейтрального слоя (оси). Поэтому условие прочности по касательным напряжениям при поперечном изгибе балки имеет вид

где QY – поперечная сила в рассматриваемом сечении балки (обычно принимается максимальное значение по абсолютной величине);

SX0 – статический момент части сечения, расположенной по одну

сторону от нейтральной оси относительно нейтральной оси X, то есть центральной оси сечения;

JX – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси X, то есть центральной оси сечения;

b – ширина сечения на уровне нейтральной оси X, то есть центра тяжести.

6.12 Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки Z, вызванное ее искривлением, называется прогибом балки и обозначается буквой V. В некоторых случаях в строительстве и машиностроении требуется определять прогибы. Это связано с тем, что деформации некоторых строительных конструкций лимитированы. Так, например, ограничиваются прогибы балок и плит по эстетическим соображениям или с целью уменьшить динамику конструкций. Поэтому надо уметь определять перемещения и углы поворота сечений балок. Рассмотрим консоль, испытывающую поперечный изгиб.

Y

0

Рис.63. Перемещения конца консоли при поперечном изгибе

77

Постоянные интегрирования C1 и C2 определяются из граничных условий на концах каждого участка балки. Число постоянных интегрирования равно удвоенному числу участков на балке. В этом недостаток рассматриваемого метода. Достоинством метода является возможность определения углов поворота и прогибов балки переменной жесткости и при любой по сложности нагрузке.

П р и м е р. Определение прогиба и угла поворота сечения балки методом непосредственного интегрирования. Рассмотрим защемленную балку постоянной жесткости (рис.64).

Рис.64. Консоль, загруженная сосредоточенным моментом, приложенным к ее концу

80