Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

4.В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре изгибающих

моментов Mx наблюдается излом с острием, направленным вниз, если сила направлена вниз, и вверх, если сила направлена вверх.

5.Если на участке балки нет распределенной нагрузки q, то поперечная

сила Qy на этом участке постоянная, а эпюра изгибающих моментов Mx имеет прямолинейный характер (линейная).

6.На участке балки, где приложена равномерно распределенная нагрузка

q, эпюра поперечных сил Qy имеет прямолинейный характер. Если нагрузка q направлена вниз, то поперечная сила Qy уменьшается при движении по балке слева направо, а если вверх, то она увеличивается.

7.На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q,

эпюра изгибающих моментов Mx имеет вид квадратной параболы с выпуклостью вниз, если q направлена вниз, и вверх, если q направлена вверх.

8.В поперечном сечении, где поперечная сила Qy равна нулю на эпюре изгибающих моментов My наблюдается экстремум.

9.Площадь эпюры поперечных сил Qy на участке балки равна изменению изгибающего момента Mx на этом участке при условии, что эпюра изгибающих моментов Mx не имеет разрыва.

10.Если на участке балки поперечная сила Qy положительная, то

изгибающий момент Mx увеличивается. И, наоборот.

Отметим, что эти правила справедливы только в случае, если эпюра изгибающих моментов построена на растянутых волокнах балки

П р и м е р построения эпюр внутренних сил для элементарной балки методом характерных сечений (рис.50).

Рис. 50. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балкае методом характерных сечений от нагрузок в виде сосредоточенного момента

61

Рассмотрим пример, показанный на рисунке (рис.50, а). Вначале, используя уравнения статического равновесия, определим реакции на левой и правой опорах балки. Так как нам заранее неизвестны направления реакций, будем предполагать, что обе реакции направлены вверх. Составим уравнения равновесия.

Реакция YB получилась отрицательной. Это опровергает наши предположения о направлении реакции на левой опоре. Исправим нашу ошибку и направим реакцию YA вниз (см. рис.50, а).

Рассмотрим часть балки, расположенной слева от сечения 1, к которой приложена единственная внешняя сила YA, направленная вниз и “пытающаяся” эту часть сдвинуть вниз. Материал сопротивляется такому сдвигу и в рассмотренном сечении появляется поперечная сила Q1, направленная вверх и равная реакции YA (рис.50, б). Обе силы YA и Q1 вызывают сдвиг, направленный против хода часовой стрелки. Согласно принятому правилу знаков для поперечных сил, поперечная сила Q1 принимается отрицательной и равной Q1 YA 8кН .

Плечо s реакции YA стремится к нулю, так как сечение 1 мы провели бесконечно близко к опоре A, располагая его справа (рис.50, б). Поэтому создать момент YA не может. Значит, материалу не чему сопротивляться, и изгибающий момент M1 равен нулю M1 YA s 8 0 0 .

Теперь проведем сечение 2 бесконечно близко к точке С слева и рассмотрим левую часть балки от этого сечения (рис.50, в). Повторяется ситуация, полученная для сечения 1. Поэтому и в сечении 2 появиться отрицательная сила равная реакции YA, Q2 YA 8кН .

Реакция YA имеет плечо относительно сечения 2 и “пытается” повернуть левую часть балки против хода часовой стрелки. Материал сопротивляется и в сечении 2 появляется изгибающий момент M2, направленный по ходу часовой стрелки. Изображая изгибающий момент в виде пары сил, можно видеть, что верхняя стрелка вызывает растяжение верхних волокон, а нижняя – сжатие нижних волокон. Согласно правилу знаков для изгибающих моментов момент M2 принимается отрицательным и равным

M2 YA s YA a 8 4 32кНм

Аналогичными рассуждениями можно найти поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях 3 и 4.

62

Растягивающая продольная сила принимается положительной, а сжимающая – отрицательной.

П р и м е р.

Вначале определим все внешние силы – реакции опор. Так как мы не знаем правильное направление реакций, будем предполагать, что реакции на опоре A направлены вправо и вверх, а на опоре B – вверх. Составим уравнения статического равновесия и получим значения реакций.

Рис. 51. Пример построения эпюр внутренних сил в плоской раме

Значения реакций получились положительными. Это значит, что мы “угадали” их правильное направление и изменять ничего не надо.

Используя метод сечений, вычислим продольные и поперечные силы, а также изгибающие моменты в сечениях 1, 2, 3 и 4 (рис.52).

64

Рис. 52. Использование метода сечений для определения внутренних сил в рамах

Определим внутренние силы в сечении 1.

65

Вертикальная реакция YA направлена вниз (рис.52, а). Для сохранения равновесия продольная сила N1 должна быть равна реакции YA и направлена вверх, то есть в сторону материала, а значит, вызывать сжатие материала. Поэтому продольную силу считаем отрицательной

N1 YA 24кН .

Горизонтальная реакция на опоре A направлена вправо (рис.52, б), Поэтому поперечная сила Q1 должна быть направлена влево и равна реакции XA. Обе силы XA и Q1 вызывают сдвиг по ходу часовой стрелки. Поэтому поперечная сила считается положительной Q1 XA 36кН .

Обе реакции на опоре A не могут создать момент относительно сечения 1, так как плечо и одной и другой реакций равны нулю (рис.52, в). Поэтому изгибающий момент в этом сечении равен нулю M1 0 .

В сечении 2 продольная и поперечная силы (рис.52, г и д) по тем же соображениям равны продольной и поперечной силам в сечении 1

N1 YA 24кН , Q1 XA 36кН .

Горизонтальная реакция на опоре A создает момент относительно сечения, направленный по ходу часовой стрелки (рис.52, е). Для сохранения равновесия в сечении 2 появляется изгибающий момент равный моменту, созданному реакцией XA, и направленному против хода часовой стрелки M2 XA 4 36 4 144кНм . При этом, изображая

изгибающий момент в виде пары сил, можно установить, что он вызывает растяжение левых волокон вертикального участка рамы. Поэтому при построении эпюры изгибающих моментов его ординату следует откладывать влево.

Реакция опоры XA направлена вправо (рис.52, ж), поэтому продольная сила N3 должна быть направлена влево, то есть в сторону материала. Поэтому продольная сила N3 отрицательная и равна горизонтальной реакции на опоре A N1 XA 36кН .

Вертикальная реакция YA направлена вниз (рис.52, з). Для сохранения равновесия поперечная сила в сечении 3 должна быть направлена вверх и равна реакции YA. Реакция YA и поперечная сила Q3 создают сдвиг, направленный против хода часовой стрелки. Поэтому считаем, что поперечна сила Q3 отрицательная Q1 YA 24кН.

Горизонтальная реакция XA создает момент относительно сечения 3, направленный по ходу часовой стрелки. Материал сопротивляется, в результате чего в сечении 3 появляется изгибающий момент M3, направленный против хода часовой стрелки. Очевидно, что он вызывает растяжение нижних волокон горизонтальной части рамы

M3 XA 4 36 4 144кНм .

Аналогично рассуждая можно установить, что в сечении 4 продольная и поперечная силы совпадают с продольной и поперечной силами в сечении 3 N4 XA 36кН, Q4 YA 24кН .

66

В сечении 4 моменты создают обе реакции на опоре A, Эти моменты одинаковые, но направлены в разные стороны – одна от реакции YA против хода часовой стрелки, а другой от реакции XA по ходу часовой стрелки. Поэтому изгибающий момент в сечении 4 равен нулю

M4 XA 4 YA 6 36 4 24 6 0 .

По результатам построены эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов (рис.51).

6.8 Определение нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения балки при чистом изгибе

Рассмотрим балку, загруженную двум, симметрично расположенными силами (рис. 53). В этом случае средняя часть балки CD подвергается чистому изгибу. Исследуем закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки.

Пусть плоскость суммарного изгибающего момента содержит одну из главных центральных осей инерции.

Поставленная задача является статически неопределимой, то есть решить ее нельзя с помощью только уравнений статического равновесия. К уравнениям равновесия необходимо присоединить уравнения совместности деформаций.

F – F

Эп. Mx

+

Рис.53. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов при чистом изгибе балки

Экспериментально установлено, что продольные волокна тонкой балки при ее изгибе искривляются, а поперечные сечения поворачиваются, оставаясь при этом плоскими. Отсюда следует справедливость гипотезы плоских сечений.

67

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) – поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации изгиба.

Рис.54. Искривление элементарного участка балки при чистом изгиб3

Справедливость этой гипотезы позволяет определить распределение нормальных напряжений при чистом изгибе.

Установлено, что при чистом изгибе часть продольных волокон удлиняется, а часть укорачивается. Однако, имеются волокна, которые не изменяют свою длину. Такие волокна называются нейтральными.

Продольные волокна, не изменяющие свою длину при изгибе балки,

называются нейтральными.

Поверхность (плоскость), образованная нейтральными волокнами называется нейтральным слоем (нейтральной поверхностью, нейтральной плоскостью).

Линия, пересечения нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения называется нейтральной линией (нейтральной осью).

S

dz

Рис.55. Упрощенная схема деформации участка балки, испытывающего чистый изгиб

68

Обозначим буквой S центр изгиба элементарного участка балки. Пусть волокно O, положение которого мы еще не знаем, является нейтральным. Радиус кривизна нейтрального волокна обозначим буквой . Рассмотрим деформацию произвольного волокна аб, удаленного от нейтрального волокна О на y. В результате искривления участка балки волокно аб получит деформацию и займет положение, обозначенное буквами а1б1.

Согласно решению теории упругости продольные волокна не оказывают давление друг на друга при чистом изгибе балки. Сопротивление материалов не может получить такого решения. Поэтому в ней это принимается как гипотеза.

Гипотеза об отсутствии давлений (статическая гипотеза) –

продольные волокна при чистом изгибе не оказывают давление друг на друга.

Учитывая эту гипотезу, считаем, что все продольные волокна испытывают центральное растяжение или сжатие. Нормальные напряжения в продольных волокнах вычислим по закону Гука.

Отсюда следует, что нормальные напряжения по высоте сечения распределены по линейному закону, то есть прямо пропорциональны удаленности волокна от нейтрального слоя, которое равно y.

Определим положение нейтральной оси

Известно, что при чистом изгибе N=0. Тогда

69