Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Рис. 36. Построение круга инерции при решении обратной задачи

Покажем на рисунке 37, как графическое изображение – круг инерции иллюстрирует формулу (105) для вычисления значений главных моментов инерции.

Рис. 37. Круг инерции для иллюстрации формулы (105)

Используя такой же порядок действия, как и при решении обратной задачи, построим круг инерции (рис. 37). Положение центра круга инерции определим как полусумма осевых моментов инерции Jx и Jy

Радиус круга инерции

51

Рис. 38. Пример балки, испытывающей плоский поперечный изгиб

6.2 Типы опор и типы балок

Шарнирно неподвижная цилиндрическая опора – допускает свободный поворот сечения в одной плоскости, но не допускает смещения по горизонтальному и по вертикальному направлениям. На такой опоре могут появиться только две реакции – XA и YA, так как она (опора) имеет две связи.

Рис. 39. Шарнирно-неподвижная опора: а) конструктивная схема; б) изображение опоры в сопротивлении материалов;

в) изображение опоры в строительной механике

Шарнирно-подвижная цилиндрическая опора – допускает поворот и смещение опоры по одному из направлений. На такой опоре может появиться только одна реактивная сила XA или YA, так как она (опора) имеет только одну связь.

Рис. 40. Шарнирно-подвижная опора: а) конструктивная схема; б) изображение опоры в сопротивлении материалов;

в) изображение опоры в строительной механике

Считается, что в шарнирных опорах силы трения отсутствуют.

53

Заделка (защемление) – не допускает поворота и смещений сечений. На такой опоре появляются две реактивные силы и реактивный момент, так как она имеет три связи.

MA

YA

Рис. 41. Заделка (защемление): а) конструктивная схема; б) изображение опоры в сопротивлении материалов;

в) изображение опоры в строительной механике

В зависимости от способа прикрепления балки к опоре различают типы балок – простая шарнирная балка (а), балка защемленная (б) и балка с консолями (в).

Рис. 42. Типы балок: а) простая шарнирная балка; б) консоль; в) балка с консолями

Часть балки, выступающая за левую (правую) крайнюю опору называется консолью балки.

Часть балки, расположенная между соседними опорами (в том числе и защемлением) называется пролетом балки.

6.3 Вычисление внутренних сил при поперечном изгибе балки

При изгибе балки в поперечных сечениях возникают поперечные силы и изгибающие моменты. Для определения внутренних сил используется метод сечений (см. далее).

Поперечная сила и изгибающий момент определяются из уравнений равновесия отсеченной части балки

QY F; MX MX . (116)

Поперечная сила, вызывающая сдвиг по ходу часовой стрелки, принимается положительной.

54

Рис. 43. Иллюстрация метода сечения при определении внутренних сил в балках

Рис. 44. Правило знаков для поперечных сил в балках

Изгибающий момент, вызывающий растяжение нижних волокон балки, считается положительным.

Mx>0 Mx>0

Рис. 45. Правило знаков для изгибающих моментов в балках

6.4 Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки.

Рассмотрим консольную балку (рис.46).

Составим уравнения равновесия для элементарного участка балки

M0 MX MX dMX QY dz2 QY dQY dz2 0. (117)

55

dz

Рис. 46. Внутренние силы, действующие на элементарный участок балки

Выполним подстановку формулы (118) в формулу (120) и получим

6.5 Построение эпюр внутренних сил способом составления аналитических выражений

При построении эпюры Qy положительные ординаты откладываем вверх, а отрицательные вниз.

При построении эпюры Mx положительные ординаты откладываем вниз, а отрицательные вверх.

Используя метод сечений, составляются аналитические выражения (функции) для Qy и Mx на каждом характерном участке балки. По полученным функциям строятся графики (эпюры).

56

П р и м е р.

q

+

-

ql/2

Эп. MX

+

ql2/8

Рис. 47. Построение эпюр внутренних сил методом составления аналитических выражений (функций)

Реакции опор равны друг другу. Поэтому каждая из них равна

Для более четкого понимания выполним расчет от каждой внешней силы отдельно. Вначале приложим к левой части балки только реакцию Ya на опоре A (рис. 48) и выразим поперечную силу и изгибающий момент как функции аргумента z – координаты сечения.

57

Рис. 48. Определение внутренних сил в сечении балки от реакции на левой опоре: а) поперечной силы; б) изгибающего момента

Реакция YА сдвигает рассматриваемую часть балки вверх. Материал сопротивляется этому сдвигу. Поэтому появляется поперечная сила Qy, равная реакции YА и направленная вниз (рис. 48, а). Так как сдвиг, вызванный парой сил YА и Qy, направлен по ходу часовой стрелки, то знак поперечной силы, согласно принятым правилам, принимается положительным.

Для наглядности изгибающий момент изобразим в виде пары сил (рис. 48, б) Реакция YА “пытается” повернуть левую часть балки относительно сечения S по ходу часовой стрелки. Поэтому изгибающий момент Mx направлен против хода часовой стрелки. Из рисунка (рис.48, б) очевидно, что верхняя стрелка пары сил, изображающей изгибающий момент, направлена в сторону продольных волокон, поэтому вызывает их сжатие. Нижняя стрелка пары сил, изображающих изгибающий момент Mx, направлена вправо, то есть из материала. Значит, она вызывает растяжение нижних продольных волокон. Отсюда следует согласно правилу знаков для изгибающих моментов, что изгибающий момент положительный.

Затем приложим к левой части балки только часть равномерно распределенной нагрузки q (рис. 49, а) и так же выразим поперечную силу и изгибающий момент как функции аргумента z – координаты сечения.

58

Рис. 49. Определение внутренних сил в сечении балки от части равномерно распределенной нагрузки q

Равнодействующая от части равномерно распределенной нагрузки, приложенной к рассматриваемой части балки, сдвигает рассматриваемую часть балки вниз. Материал сопротивляется этому сдвигу. Поэтому появляется поперечная сила Qy, равная равнодействующей q z и направленная вверх (рис. 49, а). Так как сдвиг, вызванный парой сил q z и Qy, направлен против хода часовой стрелки, то знак поперечной силы, согласно принятым правилам, принимается отрицательным.

Для наглядности изгибающий момент изобразим в виде пары сил (рис. 49, б) Равнодействующая части равномерно распределенной нагрузки q “пытается” повернуть левую часть балки относительно сечения S против хода часовой стрелки. Поэтому изгибающий момент Mx направлен по ходу часовой стрелки. Из рисунка (рис.49, б) очевидно, что верхняя стрелка пары сил, изображающей изгибающий момент, направлена из материала, поэтому вызывает растяжение верхних волоко. Нижняя стрелка пары сил, изображающих изгибающий момент Mx, направлена влево, то есть в сторону материала. Значит, она вызывает сжатие нижних продольных волокон. Отсюда следует согласно правилу знаков для изгибающих моментов, что изгибающий момент от части равномерно распределенной нагрузки положительный.

Учитывая принцип независимости сил, суммируем обе поперечные силы и оба изгибающих момента. В результате получим аналитические выражения для поперечной силы (128) и для изгибающего момента (129), вызванные всей нагрузкой на балку.

59

Используя полученные функции (128) и (129) вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов в отдельных сечениях балки:

при z=0

По полученным значениям строим эпюру Qy, учитывая, что график имеет вид прямой, и эпюру Mx, учитывая, что график имеет вид квадратной параболы (рис. 47).

Отметим, что при составлении аналитических выражений для поперечных сил и изгибающих моментов можно отбрасывать часть балки, расположенную левее от сечения или правее от сечения. Результаты в этом случае – аналитические выражения для Qy и Mx, должны быть такими же, как в первом случае. Это часто используют для проверки.

6.6 Построение эпюр внутренних сил в балках способом характерных сечений. Десять (золотых) правил анализа

Этот способ более быстрый. На балке выделяются особые сечения – точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец распределенной нагрузки, места расположения опор, начало и конец балки. Такие сечения следует отметить буквами или пронумеровать слева направо. Отмеченные сечения делят балку на участки. В этих сечениях вычисляются значения внутренних сил и наносятся на эпюры. Полученные точки соединяются с соблюдением очень важных и полезных следующих правил.

1.Анализ эпюр всегда выполнять слева направо. При анализе должны выйти из нуля и прийти в ноль.

2.В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре изгибающих

моментов Mx наблюдается разрыв (скачок) вниз, если момент направлен по ходу часовой стрелки, и вверх, если он направлен против хода часовой стрелки.

3.В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре поперечных сил

Qy наблюдается разрыв (скачок) вниз, если сила направлена вниз, и разрыв (скачок) вверх, если сила направлена вверх.

60