Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Проверим, так ли это

Очевидно, что выбранная функция подходит. Момент инерции относительно оси X1 равен

Окончательно имеем формулу для вычисления момента инерции треугольного сечения относительно оси, проходящей через его основание.

параллельных осей (77), получим

относительно осей X1 и Y1, повернутых по отношению к осям X, Y на угол α. Отметим, что оси X и Y могут быть и не центральными.

41

Y

Рис. 29. Координаты точки сечения в исходных и произвольных системах координатных осей

Связь между координатами двух систем координатных осей

Аналогично получим выражение для момента инерции относительно

оси Y1

Центробежный момент инерции сечения относительно осей X1 и Y1

равен

Dx1y1 x1 y1dA x cos(α) y sin(α) y cos(α) x sin(α) dA

A A

A

y2 x2 sin(α) cos(α) xy cos2 (α) sin2 (α) dA

A

42

Таким образом, выражение (95) подтверждает, что сумма моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной и той же точке (не обязательно в центре тяжести сечения), является величиной постоянной и равной полярному моменту сечения относительно точки пересечения этих осей.

5.5 Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим сечение произвольной формы. Пусть оси поворачиваются около неподвижной точки C.

Y

V

U

Рис. 30. Поворот осей относительно неподвижной точки C

43

При изменении угла α изменяются и моменты инерции сечения относительно поворачивающихся осей. Так как моменты инерции выражаются непрерывными функциями (94) с аргументом α, то они должны иметь экстремальные значения. Обозначим оси, относительно которых моменты инерции принимают экстремальные значения буквами U и V. Причем условимся – ось с максимальным моментом инерции обозначать буквой U, а ось с минимальным моментом инерции буквой V. Найдем положение этих осей, то есть угол α.

Отсюда получаем формулу для определения положения двух взаимно перпендикулярных осей, относительно одной из которых момент инерции принимает максимальное значение, а относительно другой – минимальное.

Покажем, что центробежный момент относительно этих осей равен нулю. Для этого найдем угол поворота осей, относительно которых центробежный момент становится равным нулю.

44

Разделим уравнение (102) на cos2α, на (Jx-Jy) и умножим на 2. В результате получим

И окончательно получим выражение для угла наклона этих особенных осей инерции по отношению к первоначально взятым осям координат

Очевидно, что угол наклона осей с экстремальными моментами инерции и угол наклона осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю одинаковые. Следовательно, высказанное предположение справедливо. Дадим название этим особенным осям инерции.

Главными осями инерции называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения.

Моменты инерции относительно главных осей называются

главными моментами инерции.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции, а моменты относительно этих осей – главными центральными моментами инерции.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось и ей перпендикулярная ось, неважно является ли она сама осью симметрии или нет, будут главными осями инерции.

Если сечение имеет более чем две оси симметрии, то согласно определению, любая центральная ось является главной центральной осью инерции. Примеры приведены на рисунке 31.

Рис. 31. Любая центральная ось для сечений в форме квадрата, равностороннего треугольника, равностороннего многоугольника, круга является главной центральной осью инерции

45

Главные моменты инерции плоского поперечного сечения вычисляются по формуле (без вывода)

Здесь Ju – больший главный момент инерции; Jv – меньший главный момент инерции, то есть JU JV .

В некоторых случаях для определения знака или положения объектов удобно использовать правила построения и знаки квадрант координатной плоскости. Отметим, что квадранты образуются разделением координатной плоскости координатными осями на четверти. Квадранты ограничены с двух сторон координатными осями и неограниченны с двух других сторон (рис. 32).

Рис. 32. Расстановка знаков на квадрантах координатной плоскости

Примем правило расстановки знаков квадрант. Будем считать, что

если произведение координат точки величина положительная, то квадрант, в котором расположена эта точка, считается положительным, если произведение координат отрицательное, то квадрант считается отрицательным.

Правило построения главных осей инерции.

Ось V с меньшим главным моментом инерции JV всегда откладываем на угол α от оси X или Y с меньшим моментом инерции так, чтобы ось V проходила через квадранты, имеющие знак, совпадающий со знаком центробежного момента инерции DXY.

Очень часто в составных сечениях встречаются элементы в виде равнополочных и неравнополочных уголков. На рисунке 33 показаны положения главных центральных осей инерции V с меньшим главным моментом инерции Jv.

46

Рис. 33. Положение главной центральной оси инерции Jv с меньшим главным моментом инерции в сечениях, имеющих форму уголков

5.6 Центробежный момент инерции прямоугольного треугольника

При поиске положения главных осей инерции и значений главных моментов инерции сечений сложной геометрической формы требуется определять центробежный момент инерции. А для этого требуется знать центробежные моменты инерции частей сечения простых геометрических форм. Для сечений прямоугольного и круглого сечений центробежный момент равен нулю. А вот для сечения треугольной формы его необходимо найти. Рассмотрим сечения в виде прямоугольного треугольника.

Рис. 34. Положение главных осей инерции сечение в форме прямоугольного треугольника

Зависимость ширины элементарной полоски от ее положения, то есть от y, имеет вид

Зависимость координаты центра тяжести элементарной полоски от ее положения, то есть y, имеет вид

Воспользуемся зависимостью центробежного момента относительно параллельных осей и получим

Окончательно имеем формулу для вычисления центробежного момента инерции сечения треугольной формы относительно центральных осей, параллельных катетам треугольника.

Примерное положение главных центральных осей инерции для сечений в виде прямоугольного треугольника показано на рисунке 34.

5.7 Геометрические характеристики сечений сложной формы

Сечения сложной формы делятся на части, имеющие простые геометрические формы – прямоугольники, треугольники, круги и др. К сечениям, имеющим простые формы, относятся те сечения, для которых легко можно указать положение центра тяжести, площадь, значения осевых и центробежного моментов инерции.

Статические моменты и моменты инерции сечения сложной формы вычисляются по формулам

48