Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Пределом пропорциональности (σpr, МПа) называется механическая максимальному напряжению, до

МПа) называется механическая характеристика прочности равная напряжению, при котором происходят большие деформации без заметного изменения нагрузки.

Пределом прочности (σu, МПа) называется механическая характеристика прочности равная отношению максимальной нагрузки, которую способен выдержать образец, к первоначальной площади поперечного сечения.

Обратите внимание, что предел прочности – это не напряжение, а условная величина, равная отношению максимальной нагрузки и первоначальной площади поперечного сечения, но обозначается она так же, как и напряжение буквой σu. Это объясняется тем, что при испытании площадь поперечного сечения может меняться, особенно у пластичных материалов. Однако при расчете элементов строительных конструкций изменение площади их поперечных сечений не учитывается. Поэтому для определения предела прочности приходиться силу относить к первоначальной площади поперечного сечения до испытания.

Иногда в качестве механических характеристик принимают касательные напряжения – pr, Y и u, если речь идет о сдвиге.

3.2 Механические характеристики пластичности

Обычно выделяют две основные характеристики пластичности материалов – это относительное остаточное удлинение r и относительное остаточное сужение r. Выражаются эти характеристики в процентах.

Относительным остаточным удлинением ( r,%) называется механическая характеристика пластичности равная отношению абсолютного остаточного удлинения к длине образца до испытания, выраженная в процентах

Относительным остаточным сужением ( r, %) называется отношение разности площадей поперечного сечения до испытания и после испытания к площади сечения до испытания, выраженной в процентах.

31

Тема 4. Методы расчета на прочность

В истории развития науки о прочности можно выделить три основных метода – это метод разрушающих нагрузок, метод допускаемых напряжений и метод предельных состояний.

4.1 Метод разрушающих нагрузок

В качестве условия прочности ставится требование, чтобы наибольшая нагрузка на сооружение не превышала некоторой допускаемой нагрузки Fadm, которая равна разрушающей (опасной) нагрузке, деленной на коэффициент запаса прочности

Коэффициент запаса прочности n принимается с учетом:

разброса механических характеристик материала;

отклонения величины нагрузок;

качества и степени однородности материала;

долговечности и назначения сооружения.

Разрушающая нагрузка при центральном растяжении (сжатии) для

упругопластических материалов принимается с учетом диаграммы Прандтля.

σ

σy

Fdan = σy A

Рис. 23. Диаграмма зависимости напряжений и деформаций для упругопластических материалов – диаграмма Прандтля

Разрушающая нагрузка при центральном растяжении (сжатии) для хрупких материалов вычисляется по формуле (55), а для упругопластических материалов по формуле (56)

Здесь A – площадь поперечного сечения стержня;

32

σy – предел текучести;

σu – предел прочности (временное сопротивление).

Этот метод использовался при расчете строительных конструкций, машин и механизмов до 50-х годов прошлого столетия.

4.2 Метод допускаемых напряжений

На смену методу разрушающих нагрузок пришел другой метод – метод допускаемых напряжений. В этом методе ставится требование, чтобы наибольшее напряжение не превышало допускаемого напряжения

Допускаемое напряжение равно опасному напряжению, деленному на коэффициент запаса

Для хрупких материалов опасным напряжением является предел прочности σu, а для пластических материалов – предел пластичности σy. Коэффициент запаса прочности принимается из тех же соображений, что и для метода разрушающих нагрузок.

4.3 Метод предельных состояний

Начиная с 60-лет прошлого столетия, в строительной отрасли при расчете конструкций перешли к более детальному методу – методу предельных состояний. Этот метод учитывает каждый фактор воздействия на сооружение в отдельности. Прежде всего следует объяснить, что такое предельное состояние.

Предельным состоянием называется такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям.

Целью этого метода является не допустить предельных состояний при эксплуатации и возведении сооружений. В нормах предельные состояния делятся на две группы:

1.По потере несущей способности.

2.По непригодности к нормальной эксплуатации вследствие недопустимых перемещений, колебаний и трещин.

Условие прочности имеет вид

33

Здесь R – расчетное сопротивление материала (сопротивление, принимаемое при расчете данной конструкции).

Расчетное сопротивление равно

нормами проектирования ( Rn может быть равно пределу прочности σu или пределу текучести σy);

K – коэффициент безопасности по материалу, устанавливается нормами проектирования и принимается не менее 1,0);

N – расчетное усилие, определяемое при расчете сооружений

конструкции от различных видов нормативных нагрузок – собственный вес, вес снега, давление ветра и пр.

n1 ,n2 ,...,nm – коэффициенты перегрузки, учитывающие случайные

отклонения нагрузки от нормативных значений (вследствие изменчивости нагрузки);

A – геометрическая характеристика поперечного сечения, соответствующая виду сопротивления элемента (площадь, осевой и полярный моменты сопротивления поперечного сечения).

Тема 5. Геометрические характеристики плоских сечений

5.1 Основные понятия и определения геометрических характеристик плоских сечений

Рассмотрим два случая изгиба стержня прямоугольного сечения.

F

б)

Рис. 24. Изгиб стержня в двух плоскостях

Очевидно, что прогиб в случае (рис.24, б) гораздо больше прогиба в случае (рис.24, а). При этом материал стержней и площадь поперечного сечения в обоих случаях одинаковые, а прогибы разные. Следовательно, площадь сечения не может полностью характеризовать сопротивление стержня изгибу. Поэтому при изгибе, кручении и других видах

34

сопротивления следует использовать иные более сложные геометрические характеристики.

Y

x

dA

y

Рис. 25. Декартовые и полярные координаты точки сечения

Дадим определения некоторым геометрическим характеристикам плоского поперечного сечения.

Статическим моментом Sx (Sy) плоского сечения относительно оси

X (Y) называется геометрическая характеристика равная интегралу

Статический момент может быть равным нулем, меньше или больше нуля.

Центром тяжести плоского сечения является точка, координаты которой вычисляются по формулам

Здесь X, Y – произвольные оси координат.

Отметим, что название этой очень важной в механике точки имеет ограниченный смысл. Ведь она (эта точка) существует и в том случае, когда тяжести нет. Но отдавая дань всей истории механики, оставим и будем пользоваться этим названием и впоследствии.

Отсюда следует, что статические моменты плоского сечения можно

Очень важным выводом является то, что если оси X и Y являются центральными, то координаты центра тяжести сечения равны нулю xc=0 и

35

yc=0. А это значит, что статические моменты относительно центральных осей всегда равны нулю

Центр тяжести всегда располагается на оси симметрии, если она имеется у сечения. К такому выводу можно прийти, рассуждая чисто логически. Например, пусть сечение имеет ось симметрии, и центр тяжести лежит не на оси симметрии, а где-то слева или справа от нее. Тогда по законам симметрии такая же точка должна располагаться по другую сторону от оси симметрии. Отсюда следует, что сечение имеет два центра тяжести, что невозможно по условию.

Осевым (экваториальным) моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика численно равная интегралу

Отметим, что Ix, Iy – всегда величина положительная и измеряется в см4, м4.

Полярным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика равная интегралу

Полярный момент инерции всегда величина положительная, измеряется в см4, мм4.

Между полярными координатами и декартовыми координатами

То есть, имеем связь полярного и осевых моментов инерции при условии, что оси X и Y взаимноперпендикулярные, а полюс расположен в точке пересечения этих осей

36

Центробежным моментом инерции сечения называется

A

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю, а измеряется в см4, м4 и пр.

5.2Зависимость между моментами инерции относительно

праллельных осей

Пусть для сечения произвольной формы (рис.26) заданы значения A, Ix, Iy, Ip, Dxy, Sx, Sy и известно положение центра тяжести. Требуется найти (выразить) моменты инерции этого сечения относительно осей X1, Y1, проведенных параллельно осям X, Y на расстоянии, соответственно, x0 и y0.

Y1 Y

x1

dA

Рис. 26. Координаты точки сечения в исходной и производной системах координатных осей

Очевидно, что между координатами выделенной точки существует

37

Аналогично для момента инерции Iy1.

Найдем связь для центробежных моментов инерции

Dx1 y1 x1 y1dA x x0 y y0 dA xy x0 y y0 x x0 y0 dA

Пусть оси X и Y будут центральными. Тогда статические моменты сечения относительно этих осей будут равны нулю Sx = 0, Sy = 0. Зависимости между моментами инерции (75) в этом случае упрощаются и принимают вид

Здесь x0 и y0 являются расстояниями между соответствующими осями

координат Xc, X1 и Yc, Y1.

Из полученных зависимостей можно выразить моменты инерции сечения относительно центральных осей координат.

Очевидно, что осевой момент инерции относительно центральной оси всегда меньше осевого момента инерции относительно любой нецентральной оси параллельной центральной.

5.3 Моменты инерции сечений простых геометрических форм

Наиболее часто употребляемые формы сечений элементов конструкций являются сечения прямоугольной, треугольной и круглой форм.

Получим формулы для определения моментов инерции сечения прямоугольной формы (рис.27, а)

38

Рис. 27. Сечения прямоугольной (а) и круглой (б) форм

Согласно определению (66) выразим момент инерции относительно оси X1

Получим формулу для момента инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной его основанию. Для этого используем зависимость моментов инерции относительно параллельных осей (76).

Окончательно имеем

В формулах (79) и (81) в куб возводится размер той стороны, которая перпендикулярна оси, относительно которой вычисляется момент инерции.

39

Получим формулы для вычисления моментов инерции сечения круглой формы (рис.27, б)

В качестве элементарной площадки здесь удобно выбрать кольцо толщиной равной дифференциалу d . Тогда полярный момент инерции равен по определению (67)

Окончательно имеем

Выведем формулу для вычисления осевого момента инерции круглого сечения, используя ранее полученные зависимости между полярным и осевыми моментами инерции (70),

Ширина элементарной полоски меняется в зависимости от ее положения, то есть является функцией от y.

40