Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Рис.224. Определение внутренних сил в сечениях пространственного стержня: а) и б) в точке 1 на участке 1-2; в) и г) в точке 2 на участке 1-2; д) и е) в точке 2 на участке 2-3

291

Рис. 225. Определение внутренних сил в сечениях пространственного стержня: ж) и з) в точке 3 на участке 2-3; и) и к) в точке 3 на участке 3-4; л) и м) в точке 4 на участке 3-4

Рис. 226. Эпюры внутренних сил в пространственном элементе

292

По найденным значениям и используя правила, построим эпюры внутренних сил в пространственном элементе (рис. 226).

2.25 Подбор сечения сжатого стержня с учетом продольного изгиба

Д а н о. Стержень длинной l = 4 м защемлен обеими концами =0,5 сжат силой F = 240 кН. Подберем двутавровое сечение. Расчетное сопротивление и модуль упругости материала двутавра приняты равными R=210 МПа и E=200 ГПа.

F=240кН

Рис.227. Схема сжатого двутаврового стержня

Р е ш е н и е. В первом приближении принимаем коэффициент продольного изгиба равным 0,5 . Из условия прочности при продольном изгибе

FA R

определим требуемую площадь сечения стержня

По требуемой площади поперечного сечения стержня подберем из таблицы прокатов двутавр №18 и выпишем его площадь и радиус инерции A=23,4 см2, iY=1,88 см.

Определим гибкость стержня

l 0,5 400 106 . iY 1,88

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя линейную интерполяцию

293

2.26 Определение несущей способности сжатого стержня кольцевого поперечного сечения с учетом продольного изгиба

Д а н о. Стержень кольцевого сечения, шарнирно закрепленный верхним концом и защемленный нижним концом, сжат силой F = 240 кН. Все числовые данные приведены на рисунке (рис. 228).

Dн = 24 см

Рис. 228. Схема сжатого стержня кольцевого сечения

Р е ш е н и е.

Вычислим площадь сечения

294

Найдем гибкость стержня

l 0,7 1200 104 . iX 8,1

Вычислим предельную гибкость для материала стержня (стали)

2.27 Определение несущей способности сжатого стержня, составленного из двух уголков, с учетом продольного изгиба

Д а н о. Сжатый стержень защемлен нижним концом и свободен на верхнем конце. Стержень состоит их двух равнополочных прокатных

295

уголков L№120 8, образующих крестообразное сечение. Из таблицы прокатных профилей выпишем площадь сечения одного уголка A1=17,2 см2, радиус инерции i1U = 4,28 см. Расчетное сопротивление и модуль упругости равны R = 210 МПа и E=200 ГПа. По условию закрепления коэффициент приведения длины равен = 2,0.

Рис. 229. Схема сжатого стержня, состоящего из двух равнополочных уголков

Р е ш е н и е. Вычислим гибкость стержня из плоскости, содержащей ось V (рис.229).

l 2 200 93. i1U 4,28

Используя таблицу коэффициентов продольного изгиба и линейную интерполяцию, вычислим коэффициент продольного изгиба при гибкости

=93.

Из условия прочности найдем допускаемую сжимающую силу

R 2A 0,663 210 106 2 17,2 10 4 479кН .

1

Вычислим критическое напряжение, используя формулу Ясинского, так как =93< U=100

cr a b 310 114, 93 204МПа .

Определим критическую сжимающую силу

Найдем коэффициент запаса устойчивости

2.28Расчет стержня на продольно-поперечный изгиб

Да н о. Шарнирно опертый двутавровый стержень, загруженный равномерно распределенной поперечной нагрузкой q = 4 кН/м и продольной сжимающей силой F = 80 кН. Двутавр №14. c моментом

296

инерции относительно оси перпендикулярной стенке JX = 572 см4, моментом сопротивления WX = 81,7 см3 и площадью поперечного сечения A=17,4 см2. Модуль упругости материала двутавра принят равным E = 200 ГПа, коэффициент приведения длины =1. Исходные данные приведены на рисунке 230.

Р е ш е н и е. Прогиб балки от поперечной нагрузки

Вычислим изгибающий момент от поперечной нагрузки

Рис.230. Продольно-поперечный изгиб двутаврового стержня

Максимальное напряжение, вызванное только поперечной нагрузкой

Сумма напряжений, вызванных отдельными действиями продольной и поперечной нагрузок

sum 0 F 220 46 266МПа .

Вычислим гибкость стержня в поскости стенки двутавра

l 1,0 600 104,7 105 . iX 5,73

Определим критическую силу по формуле Ясинского, так как λ = 104,7 < λU = 100

Проверим условие возможности применения приближенного решения

F 80кН<0,8 Fcr 0,8 314 251кН .

Условие выполняется. Поэтому приближенное решение для продольно-поперечного изгиба можно применить.

297

Полный прогиб балки от совместного действия поперечной и продольной нагрузок.

Определим изгибающий момент от совместного действия поперечной и продольной нагрузок

MX M0 F V 18 103 80 103 79,2 10 3 24,3кНм .

Найдем сжимающее максимальное напряжение от совместного действия продольной и поперечной нагрузок

2.29Расчет балки на поперечный удар

Да н о. Балка пролетом 3 м, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.231). На балку падает тело массой m=2000 кг с вычоты 11 см. Балка изготовлена из двутавра №20а с моментом инерции JX=2030 см4 и моментом сопротивления WX=203 см3. Модуль упругости материала двутавра принят равным E = 200 ГПа. Требуется найти динамический коэффициент, динамическое напряжение и динамический прогиб балки. Собственная масса не учитывается.

m

Двутавр №20а

Рис.231. Схема поперечного удара по двутавровой балке

Вес падающего тела на поверхности Земли равен

F mg 2000 10 20кН.

Определим прогиб балки от статически приложенной нагрузки, то есть веса падающего тела.

Вычислим динамический коэффициент

298

Определим максимальное нормальное напряжение от статически приложенной нагрузки, то есть от веса падающего тела.

2.30Пример расчета статически неопределимой балки

сучетом ползучести

Да н о. Рассмотрим стальную балку (прокатный двутвр №27) защемленную левым концом и опирающуюся правым на шарнирно подвижную опору (рис. 232). Балка пролетом 6 метров загружена сосредоточенной силой F = 60 кН, приложенной в середине пролета. Модуль упругости прокатной стали E = 200 ГПа, момент инерции поперечного сечения балки Jx = 5010 см4. Принята функция ползучести

характеризующие свойства материала 2 10 2 и k = 0,3.

Определелим прогиб в средней точке C пролета балки в упругой стадии деформирования и прогиб в той же точке при линейно-ползучей деформации материала балки.

299

Рис. 232. Схема статически неопределимой балки, испытывающей деформации ползучести

Р е ш е н и е. Используя метод сил, определим реакции опор и прогиб балки в середине ее пролета в упругой стадии деформирования.

балки.

Значение упругого перемещения точки С равно

118,13 103

VС EJX .

По аналогу, запишем выражения перемещений с учетом ползучести материала балки в изображениях Лапласа.

Применяя изображение Лапласа, запишем выражение функции K(t- ) и получим:

Переходя к оригиналам окончательно получим:

300