Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Таким образом, производная от продольной силы N равна интенсивности распределенной нагрузки q. Полученная зависимость используется для проверки эпюры N, а так же для вывода некоторых формул.

2.3. Напряжения в поперечном сечении бруса при центральном растяжении (сжатии)

Рассмотрим длинный стержень, испытывающий центральное растяжение, (рис.17).

Рис.17. Деформации волокон участка стержня при центральном растяжении длинного стержня

Опыты показывают, что сечение b-d в результате деформации выделенного участка стержня переместиться параллельно само себе, оставаясь при этом плоским. Это означает, что волокна a-b и c-d удлиняются одинаково. Отсюда следует утверждение.

Гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений). Поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации.

На основании гипотезы Бернулли все продольные волокна стержня деформируются одинаково. Следовательно, напряжения в них также одинаковые, а значит напряжения и по всей площади поперечного сечения распределены равномерно.

или

21

2.4.Напряжения в наклонном сечении стержня при

центральном растяжении (сжатии).

Рассмотрим длинный центрально растянутый стержень. В средней части стержня проведем сечение под углом к поперечному сечению

Q

Рис.18. Внутренние силы в наклонном сечении центрально растянутого стержня

На рисунке 18 отмечены A – площадь поперечного сечения; A – площадь наклонного сечения; – угол наклона сечения; N– продольная сила в растянутом стержне; N – нормальная сила в наклонном сечении; Q –поперечная (сдвигающая) сила в наклонном сечении.

Окончательно имеем

22

Здесь σ – нормальное напряжение в поперечном сечении стержня. Проведем анализ напряженного состояния стержня:

Очевидно, что максимальные нормальные напряжения появляются при =00 , то есть в поперечном сечении стержня. Максимальные касательные напряжения появляются в наклонном под углом 450 сечении и равны половине нормального напряжения.

2.5Продольные и поперечные деформации центрально

растянутого (сжатого) бруса. Закон Гука

Рассмотрим длинный стержень, подвергнутый центральному растяжению (рис.19)

Согласно определению относительная продольная деформация волокна равна

23

Предел не записывается, потому что дифференциал dz и так стремится к нулю. Из полученной формулы следует

Согласно гипотезе Бернулли все волокна находятся в одинаковых условиях. Кроме того, будем полагать, что по всей своей длине волокна деформируются одинаково, так как рассматривается длинный стержень. Поэтому ε=const.

Проинтегрируем (то есть просуммируем) деформации по длине волокна и получим

Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации, взятое по абсолютной величине называется коэффициентом поперечной деформации или

коэффициентом Пуассона.

Здесь ε – относительная линейная поперечная деформация, то есть деформация по направлению перпендикулярному к направлению действия силы или нормального напряжения;

ε – относительная линейная продольная деформация, то есть деформация по направлению действия силы или нормального напряжения.

Коэффициент Пуассона ν – величина безразмерная и теоретически для изотропных материалов может принимать значения

24

Если известен коэффициент Пуассона ν, то, зная продольную деформацию, всегда можно найти поперечную деформацию

Продольная и поперечная деформации всегда имеют разные знаки. Коэффициент Пуассона характеризует способность материала давать поперечные деформации.

С п р а в к а.

Закон Гука. Для некоторых материалов экспериментально установлено, что до некоторого предела деформации изменяются упруго и прямо пропорционально напряжениям.

Модуль упругости характеризует жесткость материала, то есть является мерой сопротивления материала продольному деформированию.

Физические коэффициенты E и могут быть найдены только испытанием материала.

Деформация и – относительные величины

Подставим их в закон Гука (29)

Отсюда имеем закон Гука при центральном растяжении (сжатии) в

где N – продольная сила на рассматриваемом участке стержня; l – длина участка стержня;

E – модуль упругости материала стержня;

A – площадь поперечного сечения на рассматриваемом участке стержня.

Полученная формула справедлива, если стержень на рассматриваемом участке постоянного сечения и продольная сила во всех его поперечных сечениях постоянная.

Величина EA называется жесткостью стержня при центральном растяжении (сжатии).

2.6 Перемещения сечений бруса

Перемещение (смещение) сечения бруса равно деформации части бруса, расположенной между защемлением (опорой) и рассматриваемым сечением.

Перемещения, совпадающие с положительным направлением продольной оси Z, считаются положительными.

Если начало координат всегда располагать в защемлении бруса, а ось Z направлять в сторону самого бруса, то знак перемещения будет совпадать со знаком суммы деформаций участков стержня, расположенных между защемлением и рассматриваемом сечении.

2.7 Особенности расчета плоских стержневых систем

Ограничимся рассмотрением механических систем, содержащих хотя бы один абсолютно жесткий (очень жесткий) и шарнирно прикрепленный к неподвижной опоре стержень (элемент). Это ограничение упрощает ее расчет. Кроме того, также для упрощения расчета сделаем следующие предположения:

абсолютно жесткий стержень может только поворачиваться около неподвижного шарнира;

все точки диска, за исключением точки в неподвижном шарнире, движутся по дугам окружностей с центром в неподвижном шарнире;

перемещения точек диска малы по сравнению с размерами самого диска, поэтому для упрощения расчета принимаем, что точки движутся не по дугам окружностей, а по касательным к ним;

считаем, что стержни системы деформируются по закону Гука;

зависимости перемещений точек и радиусов, описываемых ими дуг, имеет вид

26

Здесь A , B , K ,... – перемещения точек диска; rA , rB , rK ,... – радиусы

дуг, по которым движутся эти точки при повороте диска около неподвижного шарнира С (рис.20).

rA

rB

Рис.20. Перемещения точек абсолютно жесткого диска при его повороте около неподвижного шарнира C

2.8 Деформация стержня от собственного веса

Рассмотрим стержень, загруженный собственным весом

Рис. 21. Схема загружения стержня собственным весом

Пусть – плотность материала; g – ускорение свободного падения; A – площадь поперечного сечения. В этом случае интенсивность распределенной нагрузки равна весу стержня длиной в один метр

Составим уравнение равновесия выделенного элементарного участка стержня

27

Найдем продольную силу в выделенном сечении стержня. Эта продольная сила создается весом части стержня, расположенной ниже выделенного сечения. Для этого проинтегрируем левую и правую часть уравнения (36) на отрезке от l до z.

Найдем деформации стержня от собственного веса. Вначале выразим относительную линейную деформацию

Проинтегрируем левую и правую части выражения (42) по всей длине стержня

28

Здесь G – вес стержня.

2.9 Потенциальная энергия стержня, подвергнутого центральному растяжению (сжатию)

Внешние силы вызывают деформации тела. Их точки приложения перемещаются, а поэтому они (силы) совершают работу. При этом в теле накапливается энергия деформации – потенциальная энергия. При снятии нагрузки за счет накопленной энергии тело восстанавливает свою первоначальную форму и размеры.

Рис. 22. Схема накопления потенциальной энергии при центральном растяжении

Принимая форму выделенной элементарной полоски в виде трапеции (рис.22), определим элементарную работу, совершенную силой на деформации d l.

29

По закону сохранения энергии работа внешних сил равна приобретенной телом за счет их действия потенциальной энергии. Проинтегрируем левую и правую части полученного выражения и получим

Тема 3. Механические характеристики материалов

Механические характеристики материалов делятся на две группы – характеристики прочности и характеристики пластичности.

3.1 Механические характеристики прочности

К механическим характеристикам прочности материалов относятся предел пропорциональности, предел текучести и предел прочности.

30