Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Vtot VCX2 VCY2 15,112 4,072 15,65мм .

Найдем направление полного прогиба

Положение нейтральной оси показано на рисунке 219.

2.21 Расчет балки на прочность и жесткость при пространственном косом изгибе

Д а н о. Деревянная балка прямоугольного сечения, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.220). Балка загружена вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q = 24 кН/м и горизонтальной сосредоточенной силой F = 6 кН, приложенной в ее середине. Размеры сечения балки b h 18 56см , ее длина (пролет)

l 6 м . Модуль упругости материала балки E = 10 ГПа.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов, построить нейтральную ось, найти максимальные нормальные напряжения, найти прогиб и его направление в середине пролета балки.

Р е ш е н и е. Определим главные центральные моменты поперечного сечения балки. При этом учитываем, что сечение имеет оси симметрии, поэтому положение главных осей инерции заранее известно – это оси симметрии.

Рассмотрим балку только в вертикальной плоскости ZY (рис.220). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

Рассмотрим балку только в горизонтальной плоскости ZX (рис.220). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

Пользуясь методом сечений и правилами, построим эпюр изгибающих моментов MX и MY построим эпюру изгибающих моментов в плоскости ZX и ZY (рис.220). В точке C расчетные моменты равны MX=108 кНм и MY=9,0 кНм.

Определим угол наклона нейтральной оси к координатной оси X.

281

108

Рис.220. Схема балки, испытывающей пространственный косой изгиб и эпюры изгибающих моментов в плоскости ZY и ZX

Определим опасные точки в растянутой и в сжатой частях сечения C. Их координаты

Вычислим нормальные напряжения в опасных точках сечения C.

282

1,15 0,30 1,45МПа

Прогиб балки в точке C по горизонтальному направлению вычислим по формуле

Прогиб балки в точке C по вертикальному направлению вычислим по формуле

0,30

Рис. 221. Поперечное сечение балки в точке С, эпюры нормальных напряжений и направления прогибов (вид справа)

Определим направление полного прогиба балки в точке C

Полный прогиб балки с точке C.

VCtot VXC2 VYC2 9,932 7,692 12,56мм .

Построим эпюры напряжений и покажем прогибы (рис. 221).

283

2.22 Расчет стержня на внецентренное растяжение (сжатие)

Дано сечение внецентренно сжатого стержня (рис.222). Равнодействующая сжимающей силы равна F=108 кН. Требуется найти положение центра тяжести сечения, положение нулевой линии, определить опасные точки и напряжения в них, построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

+

3,38

Рис. 222. Сечение внецентренно сжатого старжня, эпюра напряжений и ядро сечения

Р е ш е н и е.

Разделим сечение на части, имеющие простые геометрические формы

–прямоугольник верхний, прямоугольник нижний и круг. Выберем вспомогательные оси координат – ось X по нижнему краю сечения, а ось Y

–по оси симметрии. Отметим положения центров тяжестей отдельных частей сечения и определим их координаты, вычислим площади и осевые моменты инерции относительно их собственных центальных осей, параллельных выбранным вспомогательным осям (рис.222).

Для первой части сечения – верхний прямоугольник

284

Покажем центр тяжести всего сечения и проведем центральные оси, параллельно соответствующим базовым осям (рис.222).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральных осей XC и YC.

Найдем координаты точки приложения силы в центральных осях XC и

YC

xCF xF xC 18,0 0,0 18,0см ; yCF yF yC 40,0 26,0 14,0см .

Проверим координаты центра тяжести всего сечения, используя утверждение, что статический момент относительно любой центральной

285

оси должен быть равным нулю. Вычислим статические моменты всего сечения относительно центральных осей XC и YC.

координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в базовых осях координат. Обозначим опасную точку в сжатой части сечения буквой s, а в сжатой – t.

Определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в центральных осях координат XC и YC.

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.222).

Построим ядро сечения. Для этого найдем отсеченные отрезки касательных к сечению колонны и соответствубщие им точки приложения силы.

286

2-я касательная (нулевая линия).

Из рисунка видно, что вторая касательная проходит через две точки сечения с координатами

Отметим точки, координаты которых найдены, и соединим их согласно свойствам ядра сечения и нулевой линии (рис.222).

2.23 Расчет стержня круглого сечения, испытывающего кручение с изгибом

Д а н о. Вал круглого попереного сечения (рис.223) закреплен на опорах с подшипниками и загружен двумя вертикальными силами F1=120 кН, одной горизонтальной силой F2=40 кН передает крутящий момент T1=30 кНм. Материал вала – сталь с расчетным сопротивлением R=180 МПа. Размеры вала приведены на рисунке (рис.223). Требуется проверить прочность вала по третьей и по четвертой теориям прочности.

Р е ш е н и е.

Построим эпюры изгибающих и крутящегл моментов (рис.223). Вычислим осевой момент сопротивления поперечного сечения

стержня

287

Рис. 223. Схема вала, эпюры изгибающих и крутящих моментов при изгибе с кручением

Вычислим суммарный изгибающий момент

Mu MXC2 MYC2 1202 1802 216,33кНм .

Определим приведенный момент по третьей теории прочности

Проверим на прочность по третьей теории прочности

Определим приведенный момент по четвертой теории прочности

Проверим на прочность по четвертой теории прочности

Прочность выполняется по обеим теориям.

288

2.24 Построение эпюр врутренних сил в пространственном стержне

Д а н о. Элемент, входящий в пространственную конструкцию. Поперечные сечения на всех трех участках стержня имеет форму круга диаметров D. Участки элемента ортогональны. Длина всех участков одинаковая и равная a = 2 м. Форма элемента показаны на рисунке (рис.224). Требуется построить эпюры внутренних сил на участках пространственного элемента, установить виды сопротивления и привести расчетные формулы для напряжений.

Р е ш е н и е.

Будем отмечать расположение растянутых волокон словами – верхние или нижние, левые или правые, дальние или ближние. Знаки на эпюре изгибающих моментов не ставяться, а направление действия изгибающих моментов определяем положением волокон, которые они растягивают.

Знак продольной силы определяется тем, какое действие она совершает – растягивает или сжимает. Если продольная сила растягивает материал, то она принимается положительной, если сжатие, то она принимается отрицательной.

Знак поперечной силы принимается по правилу буравчика – если направление сдвига соответствует буравчику, вкручивающемуся в соответствующую поперечную ось, то поперечная сила, вызывающая этот сдвиг, принимается положительной. Если буравчик выкручивается из соответствующей оси координат, то поперечная сила считается отрицательной.

Знак на эпюре крутящих моментов не выставляется.

Определение внутренних сил выполняется по методу сечения. При этом продольную силу и поперечные силы предварительно направляем так, чтобы они были положительными.

Используя уравнения статического равновесия найдем внутренние

289