Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов балки в точках C и D, а также учитывая, что угол поворота сечения в точке A и прогибы балки на опорах A и B равны нулю, построим упругую ось балки (рис. 214). Отметим, что упругая ось балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов. Растянутые волокна балки на ее упругой оси должны быть с той стороны, в которую отложены ординаты на эпюре изгибающих моментов.

2.18 Определение деформаций статически определеимой балки методом Максвелла-Мора (способ Верещагина)

Д а н о. Статически определимая шарнирно опертая балка, загруженная сосредоточенным моментом M 24кНм , сосредоточенной

силой F 18кНи равномерно распределенной нагрузкой q 12кНм .

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, определить прогибы в точках C, D и H, проверить по условию жесткост, приняв, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R 210МПа , на сдвиг RS 130МПа и модуль

упругости стали E 200ГПа .

(рис.215).

Р е ш е н и е. Составим уравнения статического равновесия и вычислим реакции опор YA и YB, Учитываем, что горизонтальная реакция на шарнирно неподвижной опоре A равна нулю ZA=0.

MB YA 4 2 12 2 4 2 4 2 24 18 1 0 ,

2

YA 61кН ;

271

Рис.215. Схема статически определимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

272

Используя метод сечений, вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов и по правилам построим их эпюры (рис.215).

Из условия прочности

MX R WX

определим требуемый момент сопротивления

и подберем прокатный двутавр № 18а. Выпишем его геометрические характеристики WX = 159 см3; JX = 1430 см4; SX0 89,8см3 ; s = 5,1 мм.

Проверим балку на прочность по нормальным напряжениям

X

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точках C, D и G, где следует найти прогибы балки (рис.215).

273

Знак плюс означает, что направление прогиба балки в точке G совпадает с направлением единичной силы F2, то есть вниз.

274

5,83мм.

Знак минус означает, что направление прогиба балки в точке С противоположно направлению единичной силы F3, то есть вверх.

По найденным значениям прогибов балки в точках D, G и C, а также учитывая эпюру изгибающих моментов, построим упругую ось балки

(рис.215).

2.19 Расчет статически неопределимой балки методом сил (Максвелла-Мора)

Д а н о. Двух пролетная статически неопределимая балка (рис. 217), опирающаяся на шарнирные опоры и загруженная равномерно распределенной нагрузкой q = 12 кН/м и сосредоточенной силой F = 48 кН. Размеры балки и схема нагружения показаны на рисунке (рис.217). Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, вычислить прогибы в точках K и D, а также построить упругую ось, принимая модуль упругости E = 200 МПа, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210 МПа, расчетное сопротивление на сдвиг RS =

130 МПа,.

Р е ш е н и е. Определим степень статической неопределимости:

– количество неизвестных равно четырем ZA , YA , YB , YC ;

– количество линейно независимых уравнений статического равновесия

– степень статической неопределимости равна n 4 3 1. Составим каноническое уравнение

11 X1 1F 0.

Вычислим коэффициент канонического уравнения

468 103 .

3EJX

275

Рис.217. Схема статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

276

Подставим значения коэффициента и свободного члена в каноническое уравнение

Приложим к основной системе нагрузку и найденный опорный момент X1=46,8 кНм. Построим эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов MX (рис.217).

Из условия прочности

MX R WX

определим требуемый момент сопротивления

W тр MX 46,8 103 222,86см3 . X R 210 106

По таблицам прокатных профилей подберем двутавр с уклонами

X

Вычислим прогиб балки в точке D. Для этого перемножим единичную эпюру M2 на окончательную эпюру изгибающих моментов MF. и разделить на жесткость EJX (рис.217).

Вычислим прогиб балки в точке K. Для этого перемножим единичную эпюру M3 на окончательную эпюру изгибающих моментов MX и разделим на жесткость EJX (рис.217).

277

23 8,28 2,35 12 1,43 12 46,8 3,65 13 1,43 12 33,13 3,65 23 1,43

2 19,98 3,65 1 1,43 19,24мм (вниз). 3 2

Проверим балку по жесткости

Условие жесткости балки выполняется.

По найденным значениям прогибов и учитывая, что на опорах прогибы равны нулю, построим упругую ось балки (рис.217). Отметим, что упругая ось балки должна соответствовать эпюре изгибающих моментов.

2.20 Расчет балки на прочность и жесткость при плоском косом изгибе

Д а н о. Двутавровая балка №24, защемленная одним концом и загруженная на свободном конце сосредоточенной силой F=3,6 кН, направленной под углом 120 к вертикальному направлению (рис.218). Длина балки l 2м . Требуется построить эпюры изгибающих моментов в

двух главных плоскостях, установить опасное сечение, найти положение нейтральной оси, проверить по условию прочности, найти прогиб и его направление на свободном конце балки.

Р е ш е н и е. Выпишем геомертические характеристики сечения двутавра №24:

–высота сечения h = 240 мм;

–ширина полки сечения b = 115 мм;

–момент инерции сечения относительно оси перпендикулярной стенке двутавра JX=3460 см4;

–момент инерции сечения относительно оси параллельной стенке двутавра JY=198 см4.

Определим проекции силы F на главные оси инерции сечения двутавра

FX F sin 3,6 sin 120 0,748кН ; FY F cos 3,6 cos 120 3,521кН .

278

Рис.218. Схема двутавровой консоли и совмещенная эпюра изгибающих моментов в двух главных плоскостях

Вычислим изгибающие моменты от составляющих силы FX и FY в сечении, расположенном у защемления балки

Построим эпюры изгибающих моментов, выберем опасное сечение у защемления и направим главные центральные оси в сторону растянутых волокон балки.

Так как отношение изгибающих моментов во всех поперечных сечениях балки одинаковое, то это значит, что плоскость суммарного изгибающего момента так же занимает одинаковое положение во всех сечениях. То есть, имеет место плоский косой изгиб.

Определим положение нейтральной оси. Для этого найдем угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси инерции X.

Угол откладываем от оси X так, чтобы нейтральная ось проходила через отрицательные квадранты координатной плоскости (рис.219).

Определим координаты опасной точки t в растянутой части сечения

Определим координаты опасной точки s в сжатой части сечения

279

24,42

Vtot

VY

–

24,42