Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

NAC

NCB

Рис.208. Рассмотренные части стержня при использовании метода сечений: а) на участке A-C; б) на участке C-B

Определим продольные силы на участках стержня:

– на участке A-C (рис.208, а)

Вычислим деформации участков стержня. При этом следует учитывать деформацию от реакции ZB и деформацию от изменения температуры:

Определим перемещения помеченных сечений стержня:

(по условию закрепления)

WC lAC 2,63мм ;

WB lAC lCB 2,63 0,36 2,99мм 3,0мм .

Построим эпюры продольных сил, напряжений и перемещений

(рис.2.09).

261

Рис. 2.09. Эпюры нормальных напряжений и перемещений в стержне при температурном воздействии на него

2.15 Расчет статически неопределимого стержня круглого (кольцевого) сечения на кручение

Д а н о. Стальной стержень переменной жесткости круглого поперечного сечения, защемленный обоими концами. Схема стержня приведена на рисунке (рис. 210).

Рис. 210. Схема стержня (а), деформация стержня при кручении от заданного момента (б), деформация стержня от реактивного момента (в)

262

b2м .

Ре ш е н и е. Определим степень статической неопределимости:

–количество неизвестных равно двум (TA и TB);

–уравнений статического равновесия только одно ( Z=0);

–степень статической неопределимости n=2-1=1.

Следовательно, стержень один раз статически неопределимый. Составим уравнение статического равновесия

Z TA T TB TA 36 TB 0 .

Вычислим модуль сдвига материала стержня

Вычислим полярные моменты инерции поперечных сечений стержня на участках A–C и C–B

Освободим правый конец балки от опоры и определим угол поворота правого сечения B, вызванного заданным крутящим моментов T.

2,185 10 6TB .

Составим уравнение совместности деформаций – дополнительное уравнение

TB T 2,185 10 6 TB 0,0695 0.

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение образуют систему уравнений

TA 36 103 TB 0;-2,185 10-6TB 0,0695 0.

Решим систему уравнений и найдем значения неизвестных реактивных моментов TA и TB.

Определим крутящие моменты на участках стержня

263

Рис. 211. Равновесие части стержня, расположенной слева от сечения на участке A-C (а), равновесие части стержня, расположенной справа

от сечения,

Вычислим полярные моменты сопротивления сечений стержня на его участках AC и CB

Очевидно, что кинематические условия задачи выполняются. Построим эпюры крутящих моментов и углов закручивания сечений стержня (рис.212).

264

2.16 Расчет статически неопределимой плоской стержневой системы

Д а н о. Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стальных стержней и одного абсолютно жесткого элемента (диска), прикрепленного к опоре неподвижным шарниром. Модуль упругости материала деформируемых стержней принят равным E=200 ГПа. Стержневая система загружена равномерно распределенной нагрузкой q = 120 кН/м и сосредоточенной силой F = 240 кН. Площади поперечных сечений первого и второго стержней приняты соответственно равными A1=6 см2 и A2=12 см2. Размеры и положение элементов системы приведены на рисунке (рис.213).

Требуется найти продольные силы в деформируемых стержнях, вычислить их деформации и определить перемещения точек A и B.

Р е ш е н и е. Вычислим длинны деформируемых стержней

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки A и B

Вычислим угол наклона первого стержня к горизонтальному направлению

Составим уравнение статического равновесия Mc=0

265

266

Уравнение статического равновесия MC 0 и полученное нами

дополнительное уравнение образуют систему, решением которой являются продольные силы в первом и во втором стержнях

Очевидно, что первый стержень растянут, а второй сжат.

Определим реакции на опоре C. Для этого составим уравнения статического равновесия X 0 и Y 0. Из первого уравнения

X N1 cos XC F 63,83 cos 63,440 XC 120 0

найдем реакцию XC

XC 148,48кН .

Из второго уравнения

Y N1 sin q a b c YC N2 63,83 sin 63,640

30 3 3 4 YC 212,28 0.

найдем реакцию YC

YC 455,32кН .

Вычислим напряжения в первом и во втором стержнях.

Вычислим деформации первого и второго стержней системы

Определим перемещения точек A и B

267

2.17 Расчет статически неопределимой балки методом начальных параметров

Д а н о. Статичеси неопределимая консольная балка (рис. 214), защемленная левым концом и шарнирно опирающаяся правым. Пролет балки равен 6 м, длина консоли 2 м. Балка загружена равномерно

поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр и определить прогибы балки в точках C и D, а также проверить условие жесткости.

Р е ш е н и е. Количество неизвестных равно четырем – ZA, XA, YA и MA. Количество линейно независимых уравнений равновесия равно трем. Степень статической неопределимости равна n = 4 -3 = 1. То есть балка один раз (однажды) статически неопределимая.

Составим универсальное уравнение упругой оси балки.

Отметим, что левый конец балки защемлен. Поэтому прогиб и угол поворота сечения расположенного на опоре A равны нулю по условию защемления, а значит, равны нулю. Равны нулю и начальные параметры V0 и 0.

268