Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

JYC JY1 A1 xC21 JY2 A2 xC2 2 JY3 A3 xC2 3

810,0 45,0 2,092 1017,88 113,10 0,91 2 5832 216 0,91 2

5905,90см4 ;

Ось V откладываем от оси Xc на угол , так как JYC > JXC, так, чтобы она проходила через отрицательные квадранты, так как DXYC < 0.

2.4. Определение геометрических характеристик сечения, составленного из прокатных профилей

Д а н о: Сечение, составленное из двутавра №22, листа 1,6 22 см и неравнополочного уголка L125 80 12 (рис. 190).

Требуется определить геометрические характеристики сечения – положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции.

Р е ш е н и е. Вычертим сечение в масштабе и укажем положение центров тяжестей частей сечения. Пронумеруем части сечения и выпишим их геометрические характеристики из таблиц прокатных профилей.

231

Рис. 188. Эскиз сечения листа и его геометрические характеристики

232

Выберем вспомогательные оси координат X и Y.

Используя проставленные на рисунке размеры (рис.190), определим координаты центров тяжестей частей сечения во вспомогательной системе координатных осей X и Y.

SY A1 x1 A2 x2 A3 x3 30,6 11,0 35,2 22,8 23,36 27,82 1789,04см3;

Найдем координаты центра тяжести всего сечения.

233

Проведем центральные оси координат Xc и Yc, параллельные

Проверим найденные координаты, используя доказанное

утверждение, что статический момент относительно центральных осей сечения равен нулю.

Условие равенства нулю подтверждается. Следовательно, координаты центра тяжести сечения нацдены правильно.

Внесем коррективы в обозначения моментов инерции частей сечения в соответствии с их положением. В сечении (рис.190) ось X1 двутавра направлена вдоль его стенки, а на эскизе (рис. 187) эта ось обозначена как Y. Поэтому следует принимать Jx1 равным Jy. Аналогично для оси Y1 – следует принимать Jy1 равным Jx. Так же рассуждая, внесем следующие коррективы для первой, второй и третьей частей сечения. В итоге получим:

157,0 30,6 5,972 1419,73 35,2 0,472 116,84 23,36 8,53 2

4491,66см4 ;

234

Найдем угол наклона главных центральных осей инерции относительно центральных осей Xc и Yc.

Покажем на рисунке (рис.190) положение главных центральных осей инерции. Ось V, относительно которой главный момент инерции меньший, отложим от оси Xc на угол , так как JYC JXC . При этом она должна

проходить через отрицательные квадранты, потому что центробежный момент инерции сечения меньше нуля Dxcyc < 0. Ось U с болшим главным центральным моментом инерции проведем через центр тяжести сечения перпендикулярно оси V.

2.5. Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность шарнирно опертой балок

Д а н о: Приняты следующие исходные данные. Деревянная шарнирно закрепленная балка прямоугольного сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R=13 МПа и Rs=2 МПа. Модуль упругости материала балки E=10 ГПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 191).

235

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать размеры сечения балки, приняв отношение высоты к ширине сечения равным трем.

Рис. 191. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

вшарнирно опертой балке

Ре ш е н и е. Вначале определим все внешние силы – реакции опор.

Будем предполагать, что реакции опор YA и YB направлены вверх. Отметим, что горизонтальная реакция ZA равна нулю, так как все нагрузки, приложенные к балке, вертикальные.

Составим уравнения статического равновесия и определим значения реакций опор YA и YB.

MA q 2a 2a F 2a YB 3a M 18 2 2 2 2 24 2 2

YB 3 2 48 0, YB 72кН;

MB YA 3a q 2a a F a M YA 3 2 18 2 2 2

24 2 48 0, YA 24кН.

236

Обе реакции получились положительными. Следовательно, предположение о том, что они направлены вверх правильное.

Определеим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях на балке. Для этого используем метод сечений.

На всех рисунка (рис.192) выбраны направления поперечных сил и изгибающих моментов такими, которые соответствуют их положительным значениям.

сечение правее опоры A (рис.192, а)

сечение левее точки D (рис. 192, б)

сечение правее точки D (рис. 192, в)

сечение левее точки G (рис. 192, г)

MX 60кНм ;

сечение правее точки B (рис. 192, ж)

сечение левее точки C (рис. 192, з)

237

сечение в точке K, расположенной в том месте балки, где поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент принимает экстремальное значение (рис. 192, и). Удаленность этой точки от левого края участка определеяется отношением значения поперечной силы на этом конце

участка к интенсивности распределенной нагрузки z0 1824 1,33м . Найдем

значение изгибающего момента в сечении, проведенном через точку K.

MS YA a z0 q z0 z20 MX 24 2 1,33 18 1,33 1,233 MX 0;

MX 64кНм .

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов строим их эпюры (рис. 191).

238

Момент сопротивления прямоугольного сечения (рис. 191) с учетом отношения высоты к его ширине выражается формулой

выразим требуемую ширину сечения, принимая расчетное значение изгибающего момента MX 64кНм ,

b 3 2M X 3 2 64 103 0,149м 15см .

3R 3 13 106

В соответствии с заданным отношением высоте сечения к его ширине вычислим требуемую высоту сечения.

h 3b 3 15 45см .

Вычислим момент инерции, момент сопротивления и статический момент отсеченной части сечения.

JX bh3 15 453 113900см4 ; 12 12

касательным напряжениям, принимая в качестве расчетных значений поперечной силы QY 72кН и значение изгибающего момента

MX 64кНм .

По нормальным напряжениям

По касательным напряжениям (по формуле Журавского)

239

Для изготовления использовать клееную деревянную балку.

2.6. Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность защемленной балки

Д а н о. Деревянная защемленная одним концом деревянная балка круглого сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R=13 МПа и Rs=2 МПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 193).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать диаметр сечения балки, соблюдая условие D 32см . Если для одной балки это условие не соблюдается, то принять

две или три или большее количество балок.

Рис. 193. Схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Р е ш е н и е. Из условия равновесия определим реакции опор YA и MA.

240