Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Рис. 180 Схема развития трещины с пластическими деформациями

Удвоенная величина V равна раскрытию трещины при плоском напряженном состоянии (рис. 180)

подтверждены экспериментально.

KC

t

KIC

t

0

Рис. 181. Процесс роста трещины

221

2ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

2.1Расчет стержня переменной жесткости на статические

нагрузки

Д а н о. Стержень переменной жесткости, закрепленный верхним концом и загруженный двумя центрально приложенными силами – сила

состоит из двух ступеней. Площадь поперечного сечения верхней ступени равна A1 6см2 , а площадь поперечного сечения нижней ступени –

A2 8см2 . Модуль упругости материала стержня E 200ГПа . Размеры и

место приложения сил показаны на рисунке 190. Р е ш е н и е.

Рис. 182. Стержень переменной жесткости, загруженный двумя сосредоточенными силами, и эпюры внутренних сил

Продольную ось стержня Z направим от опоры в сторону стержня – в данном случае это вниз. Пронумеруем особенные сечения, начиная от опоры. Направим неизвестную реакцию опоры Zo в любую сторону, например, вверх.

Составим уравнение статического равновесия и решим его

Знак “минус” означает, что направление реакции Z0 выбрано ошибочно. В действительности реакция Z0 направлена вниз. Внесем исправления на рисунке 182, и значение реакции будем считать положительным.

222

Используя метод сечений, определим продольную силу на участке 1- 2. Для этого проведем сечение S1 в произвольном месте участка 1-2. Это сечение разделит стержень на две части 1–S1 и S1–5. Рассмотрим часть 1– S1. Будем полагать, что в сечении S1 действует растягивающая сила N12 (рис. 183, а). Составим уравнение статического равновесия выбранной части стержня и решим его

Знак “минус” означает, что мы ошиблись, предполагая продольную силу растягивающей. В действительности продольная сила на участке 1-2 вызывает сжатие материала. В отличие от внешних сил, для внутренней силы N12 знак “минус” сохраняется.

Рис. 183. Отсеченные части стержня сечениями, проведенными на разных его участках: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3; в) на участке 3-4

Затем, в произвольном месте участка 2-3 проведем сечение и рассмотрим верхнюю от сечения часть стержня (рис. 183, б). Составим уравнение статического равновесия для рассматриваемой части стержня и решим его.

Знак “плюс” означает, что продольная сила N23, как и предполагалось, растягивает материал участка 2-3.

Проведем сечение в произвольном месте участка 3-4 (рис.183, в) и рассмотрим верхнюю часть стержня. Составим уравнение равновесия и решим его.

Очевидно, что материал участка 3-4 также испытывает растяжения.

223

На участке 4-5 стержня нет приложенных сил, поэтому продольная сила на этом участке равна нулю и материал его и не растягивается и не сжимается.

По результатам расчета построим эпюру продольных сил (рис. 182). Вычислим значения нормальных напряжений на участках стержня.

Построим эпюру нормальных напряжений (рис. 182).

Используя закон Гука, вычислим деформации (изменения длины) участков стержня.

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня, используя реккурентную формулы Wk 1 Wk lk ,k 1 .

W1 0 (по условию закрепления);

W2 W1 l12 0 0,64 0,64мм ;

W3 W2 l23 0,64 1,20 0,56мм;

W4 W3 l34 0,56 0,54 110, мм ; W5 W4 l45 110, 0,0 110, мм .

Построим эпюру перемещений (рис. 182). Отметим, перемещения со знаком плюс совпадают с направлением продольной оси Z. Направление перемещений можно указывать и стрелками.

224

2.2Расчет плоской стержневой системы

Да н о: Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стержней 1 и 2, а также двух абсолютно жестких элементов, соединенных друг с дугом и с опорами шарнирами. Модуль

упругости и расчетное сопротивление принято равными E 200ГПа, R=210МПа . Исходные данные приведены на рисунке 184.

Рис. 184. Схема плоской стержневой системы (а) и обозначение неизвестных реакций и продольных сил (б)

Р е ш е н и е. Разрежим стержень 1 и стержень 2 одним сечением, разделив систему на две части – верхнюю и нижнюю. Будем полагать, что оба деформируемые стержни растянуты продольными силами N1 и N2. То есть эти продольные силы считаем положительными. В результате имеем

восемь неизвестных XA, YA, XC, YC, XD, YD, N1, N2. Вычислим угол наклона второго стержня.

Из уравнения статического равновесия верхней части стержневой

Из уравнений равновесия нижней части стержневой системы вычислим реакции и продольную силу N2.

225

В результате расчета установлено, что оба деформированные стержни сжаты. Значения реакций положительные, значит их направление выбрано правильно. Если значения какой-либо реакции оказалась бы отрицательной, то следуе изменить ее направление на противоположное и считать ее положительной. В данном примере все реакции оказались положительными. Поэтому ничего менять не следует.

Проверим соблюдение условий равновесия всей стержневой системы.

X XD XK XC 0,0 234 234 0 ;

Y YD F YK YC q 2a 180 360 156 312 48 2 3 0.

Условие равновесия выполняется. Из условия прочности

1 NA1 R

1

определим требуемую площадь поперечного сечения для первого деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два угодка 2L56 4 . Тогда площадь поперечного сечения

226

Из условия прочности

2 N2 R

A2

определим требуемую площадь поперечного сечения для второго деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L60 6 . Тогда площадь поперечного сечения

второго стержня равна A2 2 6,92 13,84см2 . Проверим по условию прочности второй стержень

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки B и G, и их углы наклона и (рис. 185).

Используя деформируемую схему с учетом упрощений, установим связь между перемещениями точек B и G и деформациями первого и второго стержней (рис. 185).

Вычислим перемещение точки B

227

2.3. Определение геометрических характеристик сечения сложной геометрической формы

Д а н о: Сечение сложной геометрической формы (рис. 186). Требуется определить главные центральные моменты инерции.

Р е ш е н и е. Разделим сечение на части с простыми геометрическими формами – прямоугольники, треугольники и круги (рис. 186). Выберем вспомогательныве оси координат и обозначим их буквами X, Y.

Вычислим площади, определим координаты центров тяжестей частей сечения, их осевые и центробежные моменты инерции:

– первая часть сечения – треугольник

228

Рис. 186. Сечение сложной геометрической формы. Размеры в см.

– вторая часть сечения – круг

DX 2 Y2 0;

– третья часть сечения – прямоугольник

229

Покажем на рисунке центр тяжести и проведем центральные оси Xc и Yc параллельно вспомогательным осям X и Y.

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения в центральной системе координатных осей Xc и Yс

Проверим положение центра тяжести сечения. Для этого используем утверждение, что статический момент любого сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

SXc A1 yC1 A2 yC 2 A3 yC31 45 6,10 113,10 0,57 216,0 1,57 0 ; SYc A1 xC1 A2 xC 2 A3 xC3 45 2,09 113,10 0,91 216,0 0,91 0.

Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей Xc и Yc, параллельных вспомогательным осям X и Y.

JXC JX1 A1 yC21 JX2 A2 yC2 2 JX3 A3 yC2 3

62,50 45,0 6,10 2 1017,88 113,10 0,572 2592 216 1,572

3806,74см4 ;

230