Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Здесь – секториальная координата точки на профиле: удвоенная

площадь сектора, образованного при повороте радиуса-вектора вокруг полюса A. Если площадь образована вращением радиуса-вектора против хода часовой стрелки, то такая площадь считается положительной и напротив (рис. 162).

Рис. 162. Пример вычисления секториальной координаты

20.5. Определение положения центра изгиба

Покажем на примере швеллера, как определяется центр изгиба (рис.

163).

201

При стесненном кручении стержня открытого профиля всегда найдется точка, которая будет центром кручения. Если линия действия силы F проходит через точку A, то закручивающий момент равен нулю и стержень будет испытывать только изгиб. Поэтому точка A является также центром изгиба.

Координаты центра изгиба A определяются формулами

где S Bx , S By – секториально-линейные статические моменты сечения

относительно полюса B.

x , y – координаты откладываются от полюса B с учетом их знаков на осях X и Y.

Тема 21 Прочность при переменных напряжениях

21.1. Основные понятия о расчете конструкций при переменных напряжениях

Экспериментально установлено, что при переменных напряжениях, гораздо меньших опасных напряжений от постоянной нагрузки, происходит разрушение материала. Существует несколько представлений о причинах разрушения конструкций от переменных напряжений. Приведем одно из таких пояснений.

П о я с н е н и е. Металлы имеют поликристаллическую структуру и сложены множеством кристаллов различного размера и различной ориентации. При нагружении металлического образца появляется неоднородное поле напряжений. Среднее напряжение может быть

202

меньше опасного, а в отдельных точках на контактах кристаллов за счет концентрации они могут быть больше опасного.

В таких точках происходит разрушение материала и появляются микротрещины. При каждом повторяющемся нагружении трещины растут, так как сами являются концентраторами напряжений. Это приводит к появлению макротрещин и к разрушению элемента.

Вводится понятие о накоплении повреждений и разрушению материала от повторяющихся нагрузок.

Усталость – процесс постоянного накопления повреждений

материала при действии переменных напряжений, приводящий к образованию трещин и разрушению.

Свойство материала сопротивляться усталостному разрушению называется выносливостью.

21.2. Виды циклов напряжений

Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число T называется периодом функции.

Для периода можно дать и такое определение.

Минимальной промежуток времени, в течение которого напряжение и его производная по времени принимают соответственно одинаковые значения, называется периодом T,с.

Изменение напряжений за один период называется циклом напряжения.

Максимальное отличие функции, взятое по абсолютной величине, от его среднего значения называется амплитудой.

σa

σmax σm

Рис. 164. Синусоидальный закон изменения напряжений

Симметричный цикл – это такой цикл, при котором максимальное

иминимальное напряжения равны по абсолютной величине, но имеют разные знаки.

Асимметричный цикл – это такой цикл, при котором максимальное

иминимальное напряжения не равны по абсолютной величине.

203

Знакопеременный цикл – это закон колебательного процесса, при котором максимальное и минимальное напряжения имеют разные знаки.

Если максимальное и минимальное напряжения имеют одинаковые знаки, то такой цикл называется знакопостоянный.

Пример знакопостоянного и ассиметричного цикла приведен на

Рис. 166. Примеры циклов переменных напряжений: а) симметричный цикл; б) постоянная нагрузка; в) пульсирующий цикл; г) знакопостоянный цикл

21.3. Понятие о пределе выносливости

Пределом выносливости называется наибольшее максимальное (минимальное) напряжение, которые не вызывает усталостного разрушения элемента при неограниченном числе циклов R .

И с п ы т а н и я.

204

Испытания на выносливость выполняются на специальных испытательных установках. Отметим, что такие испытания дорогостоящие и требующие больших затрат времен. Схема установки для испытания на усталость материалов приведена на рисунке 167.

σu

Рис. 167. Схема установки для испытания на усталость и кривая

Для получения каждой точки кривой усталости (кривая Вебера) требуется десять образцов. Это необходимо в связи с большим разбросом результатов. На горизонтальной оси N откладывается количество цыклов испытания, а на вертикальной max, максимальное напряжение, которое еще выдерживает образец.

Для черных металлов (сталь, чугун) испытания проводят на 107 циклов. Опыт показывает, что если металл выдерживает 107 циклов, то он выдерживает и неограниченное число циклов.

Для цветных металлов испытания проводят на 108 циклов. Цветные металлы не имеют абсолютного предела выносливости. Поэтому для них используется предел ограниченной выносливости.

21.4. Диаграмма предельных амплитуд

Предельным циклом называется такой цикл, у которого

По результатам испытаний строят диаграмму предельных амплитуд

(рис.168).

205

Рис. 168. Диаграмма предельных амплитуд

Если характеру цикла соответствует точка, расположенная внутри диаграммы, то усталостное разрушение не происходит.

21.5. Факторы, влияющие на величину предела выносливости

На величину предела выносливости влияют многие факторы. Концентрация напряжений. Усталостные трещины обычно

появляются в местах концентрации напряжений. Величина концентрации напряжений оценивается коэффициентом концентрации. Оценка влияния концентрации на усталостную прочность дается по эффективному коэффициенту концентрации, который устанавливается экспериментально.

Качество поверхности детали зависит от способа обработки

Опыт показывает, что предел выносливости снижается для деталей с грубой обработкой поверхности.

Абсолютные размеры существенно влияют на величину предела выносливости. С увеличением размеров детали предел выносливости уменьшается.

Внешняя среда существенно влияет на усталостную прочность. Наличие воды, растворов солей, кислот, пара значительно снижают усталостную прочность. Высокая температура снижает, а низкая повышает усталостную прочность.

Тема 22 Учет пластических деформаций при расчете элементов

22.1. Расчетные модели

Из диаграммы растяжения малоуглеродистой стали, очевидно, что закон Гука выполняется только до некоторого предела – предела пропорциональности σpr. При дальнейшем нагружении происходят пластические деформации материала образца. Однако достижение предела

206

текучести в какой-либо точке конструкции еще не означает ее разрушение. Вследствие пластических деформаций включаются в работу менее нагруженные части конструкции.

Все диаграммы σ делятся на три типа (три модели).

1) диаграммы хрупких материалов (чугун).

Считается, что хрупкие материалы разрушаются без пластических деформаций и подчиняются закону Гука до момента разрушения (рис.

169).

Рис. 169. Закон деформирования реальный и расчетный хрупких материалов

2) диаграмма материалов с четко выраженной площадкой

текучести (сталь малоуглеродистая). При расчете конструкций из весьма пластичных материалов упрочнение не учитывается и диаграмму упрощают, заменяя ее диаграммой Прандтля (рис. 170)..

Рис. 170. Закон деформирования реальный и расчетный упругопластических материалов

3) диаграмма с нечетко выраженной площадкой текучести (стали средней пластичности, цветные металлы). Для материалов средней пластичности реальную диаграмму заменяют на более простую –

билинейную (рис. 171).

207

Рис. 171. Закон деформирования реальный и расчетный с нечетко выраженной площадкой текучести

22.2. Пластический изгиб статически определимой балки

Ограничимся рассмотрением малых упругопластических деформаций, когда деформации малы по сравнению с размерами элемента конструкции (теория Ильюшина). Рассмотрим статически определимую шарнирно опертую балку прямоугольного сечения.

Рис. 172. Шарнирно опертая статически определимая балка прямоугольного сечения, загруженная сосредоточенной силой

При увеличении силы F напряжения в крайних волокнах балки вначале достигают предела текучести σy (1я стадия). Однако несущая способность балки еще не исчерпана. Дальнейшее увеличение нагрузки вызывает распространение пластических деформаций в сторону нейтральной оси. При этом нейтральная ось все время остается центральной осью сечения (рис. 173).

Если пластические деформации распространяются на все сечение (2я стадия), то образуется пластический шарнир и несущая способность балки будет полностью исчерпана.

Пластический шарнир отличается от обычного шарнира тем, что он передает изгибающий момент равный пластическому моменту, а обычный шарнир вообще не передает момента. На первой стадии работы балки внешний и внутренний (изгибающий) моменты в поперечном сечении балки должны быть равны (561)

208

1 я с т а д и я.

Определим соответствующую предельную силу для упругой балки

Предельная сила для балки с пластическим шарниром выражается формулой (562)

209

Отношение предельной силы для балки с пластическим шарниром к предельной силе для балки в упругой стадии равно

Упругий момент сопротивления прямоугольного сечения балки равен

Пластический момент сопротивления прямоугольного сечения балки, согласно выражению (561) равен

где Sx0 – статический момент относительно нейтральной (центральной) оси части сечения, расположенной выше или ниже нейтральной оси.

Тема 23 Расчет конструкций с учетом ползучести

23.1 Основы теории ползучести

При изучении предыдущих разделов курса сопротивления материалов предполагалось, что напряженное и деформированное состояние тела остается неизменным во времени, если неизменяются внешние воздействия. В действительности полнвя деформация в любой точке тела при действии внешних сил изменяется в течение определенного

меняются, поэтому учет временных процессов, протекающих в элементах конструкций в период действия внешних сил это важно для совершенствования методов их расчета.

210