Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Применение волновой теории для описания удара дает более точные результаты, однако требует использование аппарата теории упругости. Поэтому в курсе сопротивления материалов подробно не изучается.

Тема 19 Расчет балки на упругом основании

19.1. Модели упругих оснований

Грунтовые основания представляют собой дисперсную трехфазную среду и содержат твердые частицы, воду и газ. Грунтовое основание сочетает в себе свойства сыпучий среды (угол внутреннего трения) и твердых тел (сцепление). Существует три классические модели основания.

Модель Фусса-Винклера. Грунтовое основание представляется в виде вертикальных пружинок.

Особенностью этой модели является отсутствие распределительной способности – там, где приложена нагрузка там и происходит осадка, там, где нагрузки нет – нет и осадок. В этом недостаток этой модели. Используется при расчете плит на упругом основании, когда площадь подошвы плиты большая. Характеризуется эта модель одним коэффициентом постели. В этом преимущество модели Фусса-Винклера.

Рис. 151. Модель Фусса-Винклера

Модель в виде упругого полупространства. Грунтовое основание представлено в виде упругого полупространства, неограниченного внизу и по сторонам.

Рис. 152. Модель в виде упругого полупространства

Эта модель имеет очень большую распределительную способность – гораздо большую, чем реальное грунтовое основание. В этом недостаток этой модели. Характеризуется двумя параметрами – модулем упругости E, коэффициентом Пуассона ν. Используется обычно при расчете столбчатых одиночных фундаментов.

191

Модель упругого слоя конечной толщины. Грунтовое основание моделируется упругим слоем конечной толщины, ограниченным снизу, но неограниченном по сторонам.

Рис. 153. Модель в виде слоя конечной толщины

Эта модель имеет распределительную способность, которая может регулироваться и быть подобранной так, чтобы соответствовать распределительной способности реального грунтового основания. В этом достоинство этой модели. Характеризуется тремя параметрами – модулем упругости E, коэффициентом Пуассона ν и толщиной слоя. В этом ее недостаток, так как для их определения требуется выполнять более сложные испытания образцов грунтового основания. Может быть использована для расчета плит на упругом основании и отдельных фундаментов.

19.2. Дифференциальное уравнение оси балки на упругом основании

Шпалы железнодорожных путей, ленточные фундаменты, фундаменты плотин и дамб работают как балки на упругом основании. Расчет балки на упругом основании не может быть выполнен с помощью только уравнений статики. Эта задача является статически неопределимой.

Получим дифференциальное уравнение для балки на основании Фусса-Винклера (1801 г). Согласно этой модели осадка основания прямо пропорциональна реакции (520). Эту гипотезу использовал немецкий инженер и ученый проф. Винклер для расчета железнодорожных шпал.

b – ширина подошвы балки, м.

Пусть балка (рис. 154) загружена распределенной нагрузкой q.

192

19.3. Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной сосредоточенной силой

Решим задачу, которая в прошлом столетии широко использовалась для расчета конструкций на упругом основании. Рассмотрим бесконечную балку на упругом винклеровском основании

Y

F

Рис. 155. Бесконечно длинная балка на упругом основании, загруженная одной сосредоточенной силой

Пусть основание одинаково сопротивляется растяжению и сжатию. Так как q 0, то

194

Рис. 156. Элементарны участок балки под сосредоточенной силой

Третья производная от прогиба имеет вид (получить самостоятельно)

195

Все неизвестные A, B, C и D найдены. Тогда функция прогиба балки на упругом винклеровском основании принимает вид

Взяв производную от функции (545) получим функция углов поворота

Чтобы получить функцию изгибающих моментов необходимо от функции углов поворота (546) взять производную и умножить ее на жесткость балки при изгибе EJ

19.4. Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании при сложном нагружении

Имея решение для сосредоточенной силы с некоторым приближением можно получить решение практически при любом загружении балки. Для этого следует сложную нагрузку заменить системой сосредоточенных сил рис. 157). Расчет выполнять от каждой силы в отдельности. Затем результаты расчетов сложить.

196

Рис. 157. Представление нагрузки произвольного вида как системы сосредоточенных сил

Тема 20 Расчет тонкостенных стержней открытого профиля

20.1. Основные понятия о расчете тонкостенных стержней открытого профиля

Тонкостенными называются стержни, габариты сечений которых значительно (в 8-10 и более раз) превышают толщину стенок. След срединной поверхности на плоскости поперечного сечения образует

профиль сечения.

Различают два типа тонкостенных стержней – закрытого и открытого профиля. На рисунке слева (рис.158, а) показано сечение стержня открытого профиля, а справа (рис. 158, б) – сечение стержня закрытого профиля.

Рис. 158. Пример стержня открытого (а) и закрытого (б) профиля

Если из любой точки поверхности стержня можно попасть во всякую другую точку его поверхности, двигаясь по ней, то такой стержень является стержнем открытого профиля.

Если найдется хотя бы две точки поверхности стержня, которые не могут быть соединены линией, проведенной по его поверхности, то такой стержень является стержнем закрытого профиля.

197

Тонкостенные стержни имеют одну особенность – появление закручивания при изгибе. Поперечные сечения в результате деформации не остаются плоскими, то есть имеет место депланация сечения.

Встержнях закрытого профиля депланация может быть, но она не очень большая и ею можно пренебречь. Теорию расчета этих стержней разработал профессор А.А.Уманский.

Встержнях открытого профиля депланация очень большая. Пренебречь такой депланацией нельзя. Ее следует учитывать в расчетах. Теорию расчета таких стержней разработал профессор В.З.Власов.

198

Распределение касательных напряжений по толщине элемента сечения принимается по линейному закону (рис. 160, б). На срединной поверхности (линии) касательные напряжения равны нулю.

hi – длина каждой части (элемента) сечения, измеряемая по срединной

линии;

i – толщина той же части (элемента) сечения;

1,20 – для двутавра;

1,12 – для швеллера;

1,00 – для уголка.

20.3. Стесненное кручение и его особенности

Стесненным кручением называется такое кручение, при котором депланация в разных сечениях стержня неодинаковая.

Тонкостенный стержень при кручении испытывает изгиб (рис.161). Разложим касательные напряжения на две составляющие:

– напряжения, распределенные в сечении по закону свободного кручения

( 0, M0)

– касательные напряжения, появляющиеся за счет неоднородности нормальных напряжений в полках двутавра ( ω, Mω). Эти напряжения образуют изгибно-крутящий момент Mω .

199