Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Пластины различаются по своей форме – прямоугольные, треугольные, круглые, эллиптические и др.

Оболочка – это тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояниие между которыми мало по сравнению с прочими (генеральными) размеры (рис.6, а).

b

Рис. 6. Примеры цилиндрической оболочки (а) и фундаментной подушки (б)

Оболочки различаются своей формой кривизны – цилиндрические, сферические, гауссовой кривизны и др.

Массив – это тело, у которого все три основные размеры одного порядка (рис.6, б).

1.5 Основные гипотезы (допущения) в сопротивлении материалов

Как и во всякой науке в сопротивлении материалов реальная природа рассматривается односторонне и идеализируется. Это достигается введением понятий, принятием гипотез и допущений.

1.Материал тела имеет сплошное (непрерывное) строение, то есть не принимается во внимание дискретное, атомарное строение вещества.

2.Материал элемента конструкции однороден, то есть во всех его точках механические свойства одинаковые.

3.Материал тела изотропен, то есть в любой его точке по всем направлениям механические свойства совершенно одинаковые. У анизотропных тел, например, у древесины механические свойства по разным направлениям разные. Под механическими свойствами следует понимать прочность или жесткость. Отметим, что прочность древесины вдоль волокон значительно (в два три раза) больше чем прочность поперек волокон (рис.7).

Рис. 7. Пример анизотропного материала (древесины)

11

4.В твердом теле до приложения нагрузки внутренние начальные силы отсутствуют. В действительности в элементах строительных конструкций или сооружения всегда имеются начальные внутренние силы, которые могут быть вызваны;

– неравномерным остыванием;

– неравномерной усадкой;

– неравномерным высушиванием;

– механической обработкой.

5.Принцип суперпозиций или принцип независимости действия сил.

Результат действия на тело системы сил равен сумме результатов действия тех же сил, прикладываемых к телу последовательно и в любом порядке. Принцип независимости действия сил справедлив при соблюдении двух условий:

а) геометрической линейности – перемещения точек механической системы, вызванные деформацией, малы по сравнению с ее размерами; б) физической линейности – перемещения, являющиеся результатом

деформации системы, линейно зависят от нагрузки (то есть, если выполняется закон Гука).

6.Принцип Сен-Венана – в точках тела, достаточно далеко удаленных от места приложения нагрузки, величина внутренней силы весьма мало зависит от способа приложения нагрузки. Апримером может служить разрезание стального листа ножницми (рис.8).

Q

F

F

Рис. 8. Иллюстрация к принципу Сен-Венана (резание стального листа ножницами)

1.6. Понятие о деформациях

Изменение формы или размеров тела, вызванное нагрузкой, изменением температуры или другими воздействиями называется

деформацией.

Деформация делится на два вида – линейные и угловые.

Изменение линейных размеров тела называется линейной деформацией. Линейную деформация тела разделяют на абсолютную S и относительную линейную деформации.

12

Относительная линейная деформация в точке тела равна пределу отношения абсолютной деформации отрезка волокна к длине отрезка, если длина отрезка стремится к нулю

a

Рис. 10. Угловая деформация элемента

где – абсолютная угловая деформация (обычно не употребляется в расчетах);

– относительная угловая деформация (угол сдвига), величина безразмерная.

13

1.7. Основные свойства твердого деформируемого тела

Все материалы в сопротивлении материалов характеризуются тремя основными свойствами – упругость, пластичность и ползучесть.

Деформации, полностью исчезающие после разгрузки тела,

называются упругими деформациями.

Свойства тела восстанавливать после разгрузки свою первоначальную форму и размеры называется упругостью.

Деформации, сохраняемые телом после снятия нагрузки, называются

остаточными (пластическими) деформациями.

Свойство материала давать остаточные деформации называется

пластичностью материала.

Для некоторых материалов при определенных условиях наблюдаются деформации во времени. Свойства таких материалов изучается теорией ползучести. В теории ползучести выделяют два понятия: релаксация и ползучесть.

Явление увеличения деформаций во времени при постоянной нагрузке называется ползучестью.

Явление уменьшения напряжений во времени при постоянной деформации называется релаксацией.

Пластичность материала проявляется обычно при больших механических напряжениях, а ползучесть – при большой температуре.

1.8. Внешние и внутренние силы. Метод сечений

В сопротивлении материалов различают внешние и внутренние силы. Внешние силы – это силы взаимодействия между отдельными телами. Внутренние силы – это силы взаимодействия между частями одного

и того же тела.

Внутренние силы передаются через межатомарные или межмолекулярные связи, которые всегда присутствуют в твердых телах.

Разрушение тел происходит за счет внутренних сил. Поэтому одной из главных задач сопротивления материалов является определение внутренних сил в конструкциях.

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Суть метода сечений состоит в следующем.

1)Тело мысленно разделяется на две части в том месте, где требуется определить внутренние силы.

2)Одна часть вместе с приложенными к ней внешними силами, отбрасывается, а к оставшейся части, кроме приложенных к ней внешних сил, прикладываются внутренние силы, то есть силы действия отброшенной части на оставшуюся.

3)Считается, что оставшаяся часть вместе с приложенными к ней внутренними и внешними силами находится в состоянии равновесия. Используя уравнения равновесия, определяют внутренние силы.

14

4)По законам теоретической механики система внешних сил, приложенных к рассматриваемой части, приводится к главному вектору сил P и главному вектору момента M. Так как рассмотренная часть находится в состоянии равновесия, то главные вектора P и M внешних сил должны быть равны главным векторам силы и момента внутренних сил.

5)Главные вектора внутренних сил можно разложить на составляющие

6) Для определения составляющих внутренних сил используются уравнения равновесия рассматриваемой части стержня (4).

X =0, определяется составляющая QX ;

Y =0, определяется составляющая QY ;

Z =0, определяется составляющая N;

(4)

M X =0, определяется составляющая M X ;

MY =0, определяется составляющая MY ;

MZ =0, определяется составляющая T .

Отметим, что каждое уравнение содержит только одну составляющую внутренних сил, Поэтому для их определения даже не приходиться решать систему уравнений.

Дадим определения.

Продольная сила N , кН – это внутренняя сила численно равная

сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения, на продольную ось стержня.

Поперечная сила QX или QY , кН – это внутренняя сила, численно

равная сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения, на соответствующую поперечную ось X или Y.

Крутящий момент T , кНм – это внутренняя сила, численно равная

сумме моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения, относительно продольной оси стержня.

Изгибающий момент MX или MY , кНм – это внутренняя сила,

численно равная сумме моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения, относительно соответствующей поперечной оси X или Y, проходящей через центр тяжести этого сечения.

1.9. Виды простых деформаций (сопротивлений) бруса

В сопротивлении материалов различают четыре вида простых сопротивлений бруса.

15

1. Центральное растяжение (сжатие) – вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях участка стержня появляются только продольные силы N. Пример центрально сжатой колонны приведен на рисунке (рис. 11, а).

F

F/2

Рис.11. Пример работы колонны среднего ряда на центральное сжатие и стержня заклепки на срез (сдвиг)

2. Сдвиг (срез) – вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях появляются только поперечные силы Qx или Qy. Действие среза испытывают стержни заклепки (рис. 11, б)

3.Кручение – вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях участка стержня появляются только крутящие моменты T.

Пр и м е р ы. Работа вала машины (механизма), иногда элементов пространственных конструкций. Чистый сдвиг можно также получить и при кручении тонкостенной трубки.

4.Чистый изгиб – это такой вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях участка стержня появляются только изгибающие моменты Mx или My.

F F

Рис.12. Средняя часть оси железнодорожного вагона испытывает чистый изгиб

16

1.10. Понятие о напряжениях

Внутренние силы N, Qx, Qy, Mx, My и T в поперечном сечении стержня в действительности не являются сосредоточенными силами. Они распределены по площади сечения по некоторым законам. Определение этих законов является одной из основных задач сопротивления материалов.

Распределение внутренних сил характеризуется их интенсивностью, которая измеряется напряжениями (механическими напряжениями). Введем понятие о напряжениях. Рассмотрим поперечное сечение стержня и напряжения в его точке.

Рис.13. Полное, нормальное и касательное напряжения в точке

Около произвольной точки выделим малую площадку A, через которую передается малая внутренняя сила P (рис.13).

Полным напряжением p (МПа) в точке называется величина, характеризующая интенсивность внутренней силы, равная пределу отношения внутренней силы P, передающейся через площадку A, если площадь A площадки стремится к нулю

В расчетах полное напряжение редко используется. Обычно используются нормальное и касательное напряжения.

Нормальным напряжением σ (МПа) в точке называется величина, равная проекции полного напряжения на нормаль рассматриваемой площадки. Если нормальное напряжение вызывает сжатие, то оно считается отрицательным, если вызывает растяжение – принимается положительным.

Касательным напряжением (МПа) в точке называется величина, равная проекции полного напряжения на плоскость рассматриваемой площадки. Правило расстановки знаков для касательного напряжения будет рассмотрено позже.

17

Такое разложение полного напряжения на нормальное и касательное сложилось исторически и вполне обосновано. Опыты показывают, что материалы по-разному сопротивляются растяжению (сжатию) и сдвигу.

1.11. Связь напряжений и внутренних сил

Для исследований характера распределения внутренних сил по площади сечения установим связь между внутренними силами и напряжениями. Полагаем, что распределение напряжений в пределах сечения выражается непрерывными функциями (рис.14).

Y

Рис.14. Внутренние силы, передающиеся через сечение, и напряжения в произвольной точке, передающиеся через площадку

Элементарная продольная сила, передающаяся через площадку dA равна

Предполагается, что в пределах элементарной площадки из-за ее малости напряжения σ распределены равномерно. Проинтегрируем левую и правую части записанного выражения (6) и получим

Элементарный момент относительно оси X, вызванный элементарной силой dA, передающейся через площадку dA, равен

Проинтегрируем левую и правую части выражения (8) и получим

18

Остальные четыре связи напряжений и внутренних сил рекомендуется получить самостоятельно.

Тема 2. Центральное растяжение (сжатие)

2.1 Общие понятия. Определение продольных сил при центральном растяжении (сжатии)

Центральное растяжение (сжатие) появляется в тросе при буксировке или подъеме груза, в колоннах промышленных и гражданских зданий и пр.

Для удобства условимся всегда продольную ось обозначать буквой Z, а поперечные оси, то есть оси расположенные в плоскости поперечного сечения, буквами X и Y.

Центральное растяжение (сжатие) – это такой вид сопротивления,

при котором в поперечных сечениях стержня появляются только продольные силы.

Продольная сила принимается положительной, если она вызывает растяжение материала или отрицательной – если сжатие.

В тех случаях, когда знак продольной силы неизвестен заранее, ее следует принимать положительной. В результате расчета знак силы уточняется.

Для вычисления продольной силы используется метод сечений.

Рис.15. Определение продольной силы методом сечений

Разделим стержень, показанный на рисунке 15, поперечным сечением S на две части – левую и правую. Отбросим правую часть и рассмотрим левую часть с левой силой F и продольной силой N, которую прикладываем так, чтобы она растягивала материал оставшейся левой части стержня, то есть была положительной. Составим уравнение равновесия оставленной левой части стержня, которое будет содержать силу F и продольную. силу N

19

Решение уравнения (10) дает положительное значение продольной силы N, что подтверждает предположение о том, что продольная сила растягивающая.

В последствие будем полагать, что нагрузка, какая бы она не была, всегда положительная, а ее действие определяется направлением.

Эпюрой продольной силы N называется график, каждая ордината которого равна значению продольной силы в данном сечении. Эпюры и не только продольных сил отличаются от других графиков тем, что они построены по специальным правилам.

Основные правила построения эпюр:

1)ординаты откладываются перпендикулярно к линии отсчета;

2)эпюры всегда строятся в удобном масштабе и так, чтобы они легко читались, то есть без наложений и без затенения самой конструкции;

3)значения подписываются без указания знака и размерностей;

4)знаки проставляются на знаковых полях эпюры обычно в кружочках;

5)вся эпюра подписывается наименованием той величины, для которой она построена, и там же указывается размерность этой величины.

2.2Дифференциальная зависимость между продольной силой

и нагрузкой

Пусть дан стержень (рис.16), загруженный распределенной по некоторому закону нагрузкой q z .

Рис.16. Равновесие элементарного участка стержня, загруженного распределенной нагрузкой

Рассмотрим элементарный участок стержня длиной dz. Учитывая

получим

20