Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Для проверки прочности следует установить вид сопротивления на каждом участке стержня:

верхний горизонтальный – внецентренное сжатие с изгибом в двух направлениях;

средний горизонтальный – поперечный изгиб с кручением; вертикальный – простой поперечный изгиб.

Тема 16 Устойчивость сжатых стержней

16.1. Методы решения задач на устойчивость

Вопросы устойчивости сжатых элементов в строительстве имеют одно из важнейших значений. Существует несколько основных методов расчета конструкций с учетом возможной потери устойчивости. Кратко изложим принципы этих методов.

Д и н а м и ч е с к и й м е т о д.

Наиболее общим методом исследования устойчивости является динамический метод. Предполагается, что исследуемая форма равновесия каким-либо образом нарушена. По характеру возникающего при этом движения судят об устойчивости или неустойчивости исследуемой формы равновесия. Если движения представляют собой колебания с постоянно возрастающей амплитудой, то исследуемая форма равновесия является неустойчивой. В противном случае она устойчива.

М е т о д Э й л е р а.

Появление смежных форм равновесия называется бифуркацией или

разветвлением форм равновесия. Существует понятие о точке бифуркации. Для определения точки бифуркации используется способ Эйлера. Основная идея метода Эйлера заключается в предположении, что смежные формы равновесия существуют. Из уравнения, характеризующую эту форму определяют нагрузку, при которой она становится возможной.

Э н е р г е т и ч е с к и й м е т о д .

Суть энергетического метода состоит в исследовании изменения полной энергии системы при переходе из исходной формы равновесия в возмущенную форму равновесия. Критическому значению нагрузки соответствует нулевое значение этого изменения.

16.2. Основные понятия об устойчивости

Во многих случаях выполнение условия прочности при центральном сжатии является недостаточным для нормальной (безопасной) эксплуатации сооружения. Возможно разрушение сжатых стержней, плит, оболочек, связанное с их потерей устойчивости – внезапного изменения формы с последующим разрушением. Дадим понятия устойчивого и неустойчивого состояний равновесия.

171

Если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от состояния равновесия и после снятия возмущения система самостоятельно способна вернуться в свое первоначальное состояние, то такое состояние называется устойчивым состоянием равновесия.

Если малые возмущения вызывают большие отклонения от состояния равновесия и после снятия возмущения система самостоятельно не способна вернуться в свое первоначальное состояние,

то такое состояние называется неустойчивым состоянием равновесия.

Поясним эти понятия на примере с равновесием шарика (рис. 146).

Рис. 136. Пример устойчивого и неустойчивого состояний равновесия шарика

Случай 1. Шарик находится в устойчивом состоянии равновесия. От действия возмущения шарик отклонится от своего первоначального состояния, а затем после снятия возмущения он самостоятельно вернется в первоначальное состояние.

Случай 3. Шарик находится в неустойчивом состоянии равновесия. От действия возмущения шарик отклониться от своего первоначального состояния, а затем после снятия возмущения он не сможет самостоятельно вернется в первоначальное состояние.

Случай 2 Шарик находится в безразличном состоянии равновесия. Бесконечное множество положений шарика являются его состояниями равновесия. То есть имеет место бифуркация – разветвление форм равновесия.

Аналогия наблюдается и для сжатого стержня.

малые возмущения вызывают большие отклонения стержня от прямолинейной формы равновесия. После устранения возмущения стержень самостоятельно не может вернуться в свое первоначальное положение – прямолинейной форме равновесия.

Под возмущениями следует понимать неучтенные воздействия на конструкцию. Например, моменты за счет случайных эксцентриситетов, начальное искривление стержня, искривление стержня за счет воздействия температуры и др.

Сопротивление сжатого стержня изгибу, появившемуся в результате потери устойчивости, называется продольным изгибом.

Продольный изгиб опасен тем, что нарастание деформаций происходит очень быстро при постоянной сжимающей силе. Разрушение происходит внезапно без заметных внешних признаков.

Таким образом, продольный изгиб является опасным для конструкций. Его допускать нельзя. Поэтому поперечные размеры элементов сжатых конструкций должны назначаться не только из условия прочности на центральное сжатие, но и из условия

где cr – критическое напряжение;

Fcr – критическая сжимающая сила;

Abr – площадь поперечного сечения брутто, то есть без учета местных ослаблений.

16.3. Метод Эйлера определения критической сжимающей силы для стержня

Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

При малой сжимающей силы F Fcr прямолинейный стержень

находится в состоянии устойчивого равновесия. Такое состояние только одно – прямолинейная форма (случай 1).

При большой сжимающей силе F >Fcr прямолинейный стержень

находится в состоянии неустойчивого равновесия. Такое состояние может быть только одно – прямолинейна форма (случай 3).

Но имеется граничное состояние, когда F Fcr . В этом случае

сжимаемый стержень находится в безразличном состоянии равновесия. Прямолинейная форма равновесия сжатого стержня в этом случае не является единственной. Форм равновесия становится бесконечное множество. При этом и незначительно искривленные стержни тоже будут

173

находиться в состоянии равновесия. То есть происходит бифуркация форм равновесия (случай 2).

F Fcr

0

Точка бифуркации

Ось равновесных состояний

Рис. 138. Иллюстрация форм равновесия сжатого стержня

Согласно определению Эйлера – наименьшее значение сжимающей

силы, при которой происходит разветвление форм равновесия,

174

Подставим решение (452) в уравнение (451) и убедимся, что оно удовлетворяется.

Отсюда имеем значение A=0 .

Следовательно, решение уравнения можно выразить более просто

Требуется определить, при каких условиях решение (456) возможно. Если B 0, то стержень не искривляется. Этот случай не рассматривается, так как противоречит условию задачи.

Поэтому

где n – числа натурального ряда.

Учитывая выражение для k , получим форму искривления сжатого стержня и выражение для критической силы. Рассмотрим только положительные значения и выразим значение критической силы согласно принятому решению.

175

Для реального стержня следует принимать во внимание только минимальную критическую силу

Формула Эйлера опубликована в 1744 г. Формула Эйлера

справедлива только в случае упругой деформации материала стержня, так как при ее выводе используется дифференциальное уравнение упругой оси стержня при изгибе.

176

16.4. Влияние способов закрепления сжатого стержня на величину критической силы

Рассмотрим четыре способа закрепления сжатого стержня. Для каждого вида закрепления стержня необходимо решить дифференциальное уравнение изгиба стержня:

1)защемлен нижним концом (рис. 142, а);

2)шарнирно закреплен обоими концами (рис. 142, б);

3)защемлен на нижнем конце и шарнирно закреплен верхним концом (рис. 142, в);

4)защемлен верхним и нижним концами (рис. 142, г).

Рис. 142. Формы искривления сжатого стержня при различных способах закрепления стержня: а) защемлен нижним концом; б)

шарнирно закреплен обоими концами; в) защемлен нижним концом и шарнирно закреплен верхним концом; г) защемлен обоими концами

После обобщения всех решений, установлено, что для указанных закреплений критическая сила определяется по общей объединенной формуле

177

где – коэффициент приведения длины; lпр – приведенная длина стержня

Приведенной длиной стержня называется длина участка стержня, на котором, при потере устойчивости сжатого стержня, укладывается одна полуволна.

Что означает приведенная – это приведенная к длине в задаче Эйлера, когда оба конца стержня закреплены шарнирно.

В общем случае сжатый стержень может потерять устойчивость из одной либо из другой главных плоскостях. Если приведенные длины стержня в разных плоскостях разные и главные моменты инерции отличаются друг от друга, то следует вычислять критические силы при потери устойчивости в обоих плоскостях, а затем выбрать в качестве расчетной меньшую из них.

16.5. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Если критические напряжения больше предела пропорциональности, то применять формулу Эйлера нельзя, так как в момент потери устойчивости в стержне появяться пластические деформации. Возможность применения формулы Эйлера требует выполнения условия

(462)

178

Пусть cr pr , тогда верхний предел гибкости можно определить по формуле (466)

Если > u , то можно применять формулу Эйлера. Если u , то

формулу Эйлера применять нельзя, так как при потере устойчивости стерженя в нем появляются не только упругие, но и пластические деформации. В этом случае следует использовать эмпирическую формулу Ф.С.Ясинского (эмпирическая – это значит полученная по результатам эксперимента).

16.6. Расчет сжатого стержня любой гибкости

В зависимости от гибкости сжатого стержня критические силы и критические напряжения вычисляются по разным формулам.

1) При 0 50 – стержень настолько короткий, что разрушение от чистого сжатия происходит раньше, чем потеря его устойчивости. В этом случае принимается

упругопластические деформации. Для вычисления критической силы (или критического напряжения) используется формула Ясинского

179

3) При u – стержень теряет устойчивость в упругой стадии.

Критическую силу (критические напряжения) вычисляются по формуле Эйлера

Для большей наглядности применения формул при расчете сжатого стержня на устойчивость построим диаграмму критических напряжений.

σcr

σu

Ясинского

Эйлера

Рис. 143. Диаграмма критических напряжений

16.7. Практический расчет сжатых стержней

Напряжение в сжатом стержне должно быть меньше критического напряжения

где N – продольная сжимающая сила;

Abr – площадь поперечного сечения брутто, то есть площадь, принятая без учета местных ослаблений.

Местные ослабления – это ослабления стержня на небольшом участке его длины. Экспериментальные исследования показали, что местные ослабления (например, отверстия под заклепки или болты и др) не оказывают заметного влияния на величину критической силы.

Для надежности работы стержня в расчет вводится коэффициент запаса устойчивости

180