Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Рис. 128. Иллюстрация свойств нулевой линии – первое (а), второе (б), третье (в) и четвертое (г)

15.12. Ядро сечения

Ядро сечения – это область, очерченная вокруг центра тяжести, при приложении силы в любой точке которой, во всех точках сечения появляются напряжения одного знака.

Для того, чтобы построить ядро сечения, необходимо рассмотреть всевозможные положения касательных к контуру выпуклой фигуры, описывающей сечение, и предположить, что это нулевые линии. Затем найти координаты точек приложения силы, соответствующих этим касательным нулевым линиям. Это и будут точки контура ядра сечения.

161

Отсекаемые отрезки нулевой линии определяются по формулам

15.13. Свойства ядра сечения

Все, ниже перечисленные свойства ядра сечения могут быть доказаны. В целях сокращения времени изложения теоретического материала

здесь приведены эти свойства без доказательств.

1)Ядро сечения – это всегда выпуклая фигура.

2)Ядро сечения всегда содержит центр тяжести сечения.

3)Форма и размеры ядра сечения зависят только от формы и размеров сечения, но не зависят от величины силы, места ее приложения или материала стержня.

4)Ядро сечения всегда вытянуто в том направлении, в котором вытянуто само сечение. Если сечение никуда не вытянуто, то и ядро сечения никуда не вытянуто.

5)Если сечение симметрично, то и ядро сечения симметрично. При этом оси симметрии и сечения и ядра сечения совпадают. Если сечение имеет несколько осей симметрии, то ядро сечения имеет столько же осей симметрии.

6)Если сила приложена вне контура выпуклой фигуры, описывающей сечение, то нулевая линия пересекает и эту фигуру, и ядро сечения.

7)Если сила приложена на контуре выпуклой фигуры, описывающей сечение, то нулевая линия касается этой фигуры.

8)Если сила приложена внутри контура выпуклой фигуры, описывающей сечение, но вне ядра, то нулевая линия пересекает эту фигуру, но не пересекает и не касается ядра сечения.

9)Если сила приложена на контуре ядра сечения, то нулевая линия касается выпуклой фигуры, описывающей сечение.

10)Если сила приложена внутри ядра сечения, то нулевая линия не пересекает и не касается выпуклой фигуры, описывающей сечение.

15.14. Примеры построения ядра сечения

Построим ядро сечения прямоугольной формы (рис.129). Площадь и моменты инерции сечения

162

Откладываем точки 1 и 2 на сечении. Из положения 1 в положение 2 нулевая линия, оставаясь касательной к сечению, попадает путем поворота около точки S . Каждому положению нулевой линии соответствует какая– то точка приложения силы. Так как нулевая линия поворачивается около

163

неподвижной точки S , то точка приложения силы движется по прямой линии. Так как нулевая линия при этом в процессе поворота остается касательной к сечению, то отрезок 1-2 является частью контура ядра сечения.

Очевидно, что ядро прямоугольного сечения имеет форму ромба, каждая полудиагональ которого равна одной третьей полуразмера сечения

(рис. 129).

Плсстроим ядро для сечения круглой формы (рис. 130).

Координаты точки приложения силы, соответствующие нулевой линии 1.

164

Отсеченные отрезки нулевой линии 2

Координаты точки приложения силы

Очевидно, что нулевая линия не может попасть из положения 1 в положение 2, оставаясь касательной к сечению и поворачиваясь около неподвижной точки. Нулевая линия из положения 1 в положение 2 может попасть, оставаясь касательной к сечению только поворачиваясь около подвижной точки, движущейся по контуру круглого сечения. Поэтому контур ядра сечения является кривой – окружностью (рис. 130).

15.15. Порядок расчета внецентренно сжатой колонны

1)Определить геометрические характеристики поперечного сечения – центр тяжести, площадь поперечного сечения и квадраты радиусов инерции.

2)Найти положение нулевой линии.

3)Определить положение (координаты) опасных точек в растянутой и

всжатой частях сечения колонны. Опасными точками являются точки максимально удаленные от нулевой линии.

4)Проверить условие прочности

xF , yF – координаты точки приложения равнодействующей;

xt , yt – координаты опасной точки в растянутой части сечения; xS , yS – координаты опасной точки в сжатой части сечения;

165

Rt , RS – расчетные сопротивления материала, соответственно, на растяжение и на сжатие.

15.16. Изгиб с растяжением или сжатием

Изгиб со сжатием испытывают высотные сооружения – дымовые трубы, мачты, башни и др. (рис.131). На такие конструкции обычно действуют ветровая нагрузка и нагрузка от собственного веса.

Учитывая принцип независимости действия сил, получим напряжение в произвольной точке сечения

Рис. 131. Дымовая труба, испытывающая сжатие с изгибом

где

N – продольная сила, вызванная собственным весом конструкции; A – площадь поперечного сечения;

My – изгибающий момент, вызванный поперечной нагрузкой; WY – осевой момент сопротивления сечения;

R – расчетное сопротивление материала.

15.17. Изгиб с кручением

При изгибе с кручением в поперечных сечениях стержня появляются изгибающий и крутящий моменты. На кручение с изгибом работают

166

элементы пространственных конструкций, валы машин, винтовые пружины и др.

Рассмотрим стержень круглого сечения. Учитывая принцип независимости действия сил, напряжения в произвольной точке сечения равны сумме напряжений от кручения и от изгиба

Анализ эпюр показывает, что опасная точка, обозначим ее буквой S, располагается на контуре сечения. Выделим около точки S элементарный параллелепипед (рис. 133).

X

zx

xz

Рис. 133. Элемент, вырезанный вблизи поверхности стержня круглого сечения

Очевидно, что выделенный элемент находится в условиях плоского напряженного состояния, так как площадки с нормалью Y свободны от напряжений. Поэтому главные напряжения могут быть вычислены по известной формуле

Так как x 0 , имеем

167

После подстановки (441) в выражение (440) получим

И, окончательно, для третьей теории прочности имеем

15.18. Расчет пространственного ломаного стержня

Рассмотрим стержень, состоящий из ортогонально расположенных прямолинейных элементов. Участки такого стержня могут испытывать различные сложные сопротивления при разных сочетаниях внутренних сил в его сечениях. При расчете используются метод сечения и принцип независимости действия сил.

Порядок расчета ломаного стержня:

1. строятся эпюры внутренних сил на участках стержня;

2. устанавливается вид сопротивления каждого участка стержня;

3.определяются опасные сечения и опасные точки в них;

4.вычисляются напряжения в опасных точках сечения стержня и проверяется выполнение условия прочности с использованием какой–либо теории прочности.

При построении эпюр приняты следующие правила:

169

1)растягивающая продольная сила считается положительной, а

сжимающая – отрицательной;

2)при направлении сдвига, соответствующего вкручивающемуся буравчику в соответствующую ось координат, то такой сдвиг (поперечная сила) считаются положительным, и напротив, если буравчик выкручивается из соответствующей оси координат, то – отрицательным;

3)если силовой фактор виден со стороны сечения, направленным по ходу часовой стрелки, то он вызывает положительный крутящий момент;

4)эпюры изгибающих моментов строятся на растянутом волокне и знак на них не проставляется;

5)Используем местные системы координатных осей, то есть для каждого участка принимаются свои оси координат; при этом продольную ось всегда обозначаем буквой Z, а поперечные оси – X и Y.

Рассмотрим пример построения эпюр в ломанном пространственном стержне. Пусть длина всех участков одинаковая и равная a.

Рис. 135. Эпюры внутренних сил в пространственном ломаном стержне

170