Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Такой изгиб следует называть не косым изгибом, а изгибом в двух плоскостях.

Рассмотрим частный случай косого изгиба.

Рис. 120. Консоль прямоугольного сечения, испытывающая косой

Дана балка прямоугольного сечения (рис.120). Пусть силовая плоскость проходит через диагональ сечения.

Таким образом, нейтральная ось совпадает с другой диагональю сечения.

15.5. Определение прогибов балки при плоском и пространственном косых изгибах

Вначале получим выражения для прогиба консольной балки, загруженной сосредоточенной силой (рис.121). Для вычисления прогибов воспользуемся методом Максвелла-Мора.

l

M1

Рис. 121. Грузовая и единичная эпюры на консоли от сосредоточенной силы

151

то есть углы равны друг другу . Но углы откладываются от взаимно перпендикулярных осей X и Y , поэтому направление полного прогиба при

плоском косом изгибе перпендикулярно нейтральной оси.

Вместе с тем, отметим, что при JX JY направление полного прогиба не совпадает с направлением действия силы . Это и послужило причиной назвать этот вид сопротивления косым изгибом. И

действительно сила действует в одном направлении, а полный прогиб направлен в другом.

Для пространственного косого изгиба положение, то есть угол , плоскости действия суммарного изгибающего момента для различных сечений балки разное и зависит от значений изгибающих моментов в нем

геометрически сложить. При этом прогибы определяются по общим правилам для плоского простого изгиба.

П р и м е ч а н и е. Чтобы установить какой вид косого изгиба испытывает балка не обязательно строить ее упругую ось и увидеть, что она плоская или пространственная. Тем более, что это очень трудоемко и

153

имеет место плоский косой изгиб, а во втором – пространственный.

15.6. Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе балки

В поперечных сечениях балки при косом изгибе появляются две поперечные силы и два изгибающих момента:

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Нагрузка раскладывается на составляющие, лежащие в плоскостях ZX и ZY . Эпюры строятся отдельно – от составляющих в плоскости ZX

и от составляющих в плоскости ZY .

При необходимости эпюры могут быть геометрически сложены.

15.7. Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе

При сложной форме сечения и различной прочности материала на растяжение и сжатие следует:

1)построить эпюры внутренних сил в двух плоскостях;

2)определить опасное сечение;

3)определить положение нейтральной оси;

4)найти опасные точки в растянутой части сечения и в сжатой части сечения;

5)проверить по условию прочности на растяжение на на сжатие

где xt , yt – координаты опасной точки в растянутой части сечения; xS ,yS – координаты опасной точки в сжатой части сечения;

Rt ,RS – расчетные сопротивления, соответственно, на растяжение и на

сжатие.

П р и м е ч а н и е. Опасными точками сечения являются точки, максимально удаленные от нейтральной оси, так как в них появляются максимальные напряжения t max .

154

Для сечений прямоугольно подобной формы, то есть когда имеются точки одновременно максимально удаленные от главных центральных осей инерции X и Y , а также, когда материал имеет одинаковую

прочность на растяжение и на сжатие, порядок расчета следующий:

1)построить эпюры внутренних сил в двух плоскостях;

2)определить опасное сечение в балке;

3)проверить по условию прочности

приведенный момент к изгибающему моменту M X .

15.8. Внецентренное растяжение (сжатие). Основные понятия.

Внецентренное растяжение (сжатие) – это такой вид сложного сопротивления, который вызван действием продольной силы, не совпадающей с продольной осью стержня.

Такой вид сопротивления испытывают опоры мостов, фундаменты под колонны, колонны промышленных корпусов (рис. 123) и др.

Рис. 123. Колонны поперечника промышленного корпуса

155

15.9. Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии).

Вначале рассмотрим диск, к которому приложена сила F в точке A (рис. 124). Переместим силу F так, чтобы ее точка приложения оказалась в точке B.

Рис. 124. Процесс параллельного перемещения силы

Очевидно, что в результате параллельного переноса силы появляется момент, равный произведению исходной силы на расстояние переноса.

То же самое проделаем и для внецентренно приложенной к колонне силы. Только в этом случае будем перемещать ее дважды (рис. 125). Вначале переместим точку приложения силы на yF, так, чтобы она оказалась на оси X, а затем на xF, чтобы она оказалась на продольной оси колонны Z. В результате такого двойного переноса появляются два момента – момент относительно оси X ( MX F yF ) и момента

относительно оси У ( MY F xF ).

xF

Y

Рис. 125. Перенос внецентренно приложенной силы на продольную ось Z

156

Для удобства рассмотрим внецентренно сжатый стержень прямоугольного поперечного сечения (рис.125). Это удобно, потому, что заранее известны положения главных центральных осей инерции, которыми будут оси симметрии сечения.

В результате такого переноса кроме центрально приложенной силы F появятся еще два момента Mx и My. Так как эти моменты относительно поперечных осей, то они являются изгибающими.

Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) приводится к трем простым видам сопротивления – центральному растяжению (сжатию) и двум чистым изгибам. Используя принцип независимости действия сил, вычислим напряжения в произвольной точке поперечного сечения стержня от каждого внутренней силы отдельно и сложим их.

колонна внецентренно растянута, то принимаем знак “плюс”, если внецентренно сжата, то принимаем знак “минус”;

A – площадь поперечного сечения колонны;

JX , JY – главные центральные моменты инерции поперечного сечения

колонны;

x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение.

Под силой F следует понимать равнодействующую всех сил, приложенных к колонне.

Полученная формула, согласно принципу Сен-Венана, справедлива для сечений достаточно далеко удаленных от места приложения нагрузки.

Сделаем преобразования и запишем эту формулу в другом виде.

157

iX JX A; iY JY A – радиусы инерции поперечного сечения

(являются геометрическими характеристиками сечения и измеряются в см, мм, м и т.д.);

xF , yF – координаты точки приложения равнодействующей; x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение;

N – продольная сила в сечении колонны; A – площадь поперечного сечения;

m– среднее напряжение в сечении колонны, m=N/A.

15.10. Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)

Линия, соединяющая все точки сечения колонны, в которой напряжения равны нулю, называется нулевой линии (нейтральной оси).

Пусть произвольная точка расположена на нулевой линии. Обозначим ее координаты xn , yn . Согласно определению, имеем

Так как N 0 , то выражение в скобках должно быть равным нулю

Перенесем xF и yF в знаменатель знаменателя

158

– это отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции (рис. 126).

Y

ay

X

0

ax

Рис. 126. Построение нулевой линии по отсекаемым отрезкам

15.11. Свойства нулевой линии

Перечислим свойства нулевой линии без доказательства.

1)Нулевая линия никогда не пересекает тот квадрант, в котором приложена равнодействующая сила.

2)Если точка приложения силы движется по прямой, пересекающей центр тяжести сечения, и приближается к центру тяжести, то нулевая линия смещается параллельно сама себе и удаляется от центра тяжести сечения.

159

3)Если точка приложения силы находится на оси X (на оси Y), то нулевая линия перпендикулярна оси X (оси Y).

4)Если точка приложения силы движется по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, то нулевая линия поворачивается около неподвижной точки. Докажем это утверждение

Рис. 127. Положение нулевой линии при перемещении точки приложения силы из точки 1 в точку 2

Пусть оси X и Y являются главными центральными осями инерции

Если сила приложена в точке 2, то нулевая линия будет перпендикулярна оси X и удалена от оси Y на xS

160