Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

13.4. Определение перемещений в статически неопределимых балках

Определение перемещение в неразрезной (статически неопределимой) балке может быть сведено к определению перемещений в статически определимой балке. Для этого необходимо:

раскрыть статическую неопределимость, то есть найти неизвестные;

приложить к основной системе нагрузку и найденные неизвестные;

построить окончательную эпюру изгибающих моментов;

приложить к основной системе единичную силу в той точке, где требуется определить прогиб или единичный момент, где требуется определить угол поворота;

построить единичную эпюру моментов, то есть эпюру моментов от этой единичной силы (момента);

перемножить окончательную и единичную эпюры изгибающих моментов и результат перемножения разделить на жесткость балки.

Если получился прогиб (угол поворота) положительным, то это значит, что они совпадают по направлению с единичной силой (единичным моментов). В противном случае – они направлены противоположно направлениям единичной силы или единичного момента.

13.5.Учет осадок опор при расчете неразрезных (статически

неопределимых) балок

Рассмотрим неразрезную балку (рис. 110, а), которая опирается на четыре опоры, одна из которых (левая) является шарнирно неподвижной, а три других – шарнирно подвижные. Таким образом, имеется четыре связи. Если рассматривать балку как абсолютно жесткое тело в плоскости, то она имеет три степени свободы. Определим количество лишних связей n 4 3 1. Значить система является один раз статически неопределимой.

Рис. 110. Схема перемещений основной системы балки за счет осадки одной из ее опор

141

Пусть в результате осадки основания опора С переместится вниз на величину Vc (рис. 110, б). Тогда перемещения в основной системе по

Таким образом, для учета осадок опор необходимо в правую часть канонических уравнений вместо нуля подставить перемещения по направлению неизвестных сил, вызванные только осадками опор.

Тема 14 Концентрация напряжений. Контактные напряжения

14.1. Понятие о концентрации напряжений

Напряжения, возникающие вблизи места приложения сосредоточенных сил, около отверстий, выточек, надрезов, трещин и др. не могут быть найдены с помощью элементарной теории – сопротивления материалов.

В этих местах наблюдается явление значительного увеличения напряжений, которое называется концентрацией напряжения.

Теоретическим коэффициентом концентрации напряжений называется отношение максимального напряжения, вычисленного с учетом концентрации, к номинальному напряжению в той же точке

Величина определяют методами теории упругости. Однако, точные

аналитические решения получены только для некоторых задач.

Для других случаев используются численные методы – МКР, МКЭ, МГЭ и др. или экспериментальные методы.

Для пластических материалов, деформирующихся по диаграмме Прандтля, концентрация напряжений при статических нагрузках не опасна. Это объясняется тем, что максимальные напряжения в местах концентрации достигают предела текучести и вследствие пластических деформаций далее не увеличиваются.

142

Закон распределения горизонтальных нормальных напряжений по оси пластины Z приведен в формуле (366)

143

Y

Qy

Mx

Qx

Mx X

N T

Z

Рис. 115. Самый общий случай сопротивления стержня

Для вычисления напряжений в произвольной точке сечения используется принцип независимости действия сил. Вычисляются напряжения от каждой составляющей внутренних сил в отдельности, а затем результаты складываются:

от продольной силы

146

Нормальные напряжения складываются алгебраически, а касательные напряжения складываются геометрически.

Некоторым частным случаям сложного сопротивления даны названия.

Например, внецентренное сжатие, кручение с изгибом, изгиб с сжатием, косой изгиб и др.

15.2. Косой изгиб. Общие понятия

Изгиб бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не содержит ни одной из главных осей инерции этого сечения, называется косым изгибом.

Примеры.

Рис. 116. Примеры элементов конструкций, испытывающих косой изгиб: а) обрешетка кровли; б) подкрановая балка

На косой изгиб могут работать обрешетки кровли, подкрановые балки, элементы пространственных стержневых систем (рис. 116) и др.

15.3. Определение напряжений при косом изгибе

Пусть дана консольная балка прямоугольного сечения, загруженная на конце сосредоточенной силой F (рис.117).

Рис. 117. Консольная балка, испытывающая косой изгиб

147

Разложим силу F на составляющие по направлению оси X и оси Y, являющимися главными осями инерции рассматриваемого сечения в связи с тем, что они являются осями симметрии сечения.

Таким образом, при косом изгибе в одном сечении действуют два изгибающих момента – момент относительно оси X и момент относительно оси Y. Учитывая принцип независимости действия сил, определим нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения

где Mx, My – изгибающие моменты в сечении относительно главных осей инерции X и Y

где

– угол между плоскостью суммарного изгибающего момента и осью Y;

Jx, Jy – главные центральные моменты инерции рассматриваемого сечения;

x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение.

Для получения правильного знака оси X и Y следует направлять в сторону растянутых волокон, изгибающие моменты Mx и My всегда принимать положительными, а координаты x и y со своим знаком.

Если сечение имеет точку одновременно максимально удаленную от осей X и Y, то максимальные напряжения могут быть найдены по упрощенной формуле

или

148

где Wx, Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно осей X и Y.

Примеры таких сечений приведены на рисунке (рис. 126)

Рис. 118. Примеры сечений, имеющих точки, максимально удаленные от главных центральных осей инерции – прямоугольное, коробчатое, двутавровое

15.4. Определение положения нейтральной оси при косом изгибе

Рассмотрим сечение прямоугольной формы (рис. 119). Так как это сечение имеет оси симметрии, поэтому известно положение его главных центральный осей инерции – это сами оси симметрии.

xn

yn

X

нейтральная ось

F

Y

Рис. 119. Положение нейтральной оси в прямоугольном сечении при косом изгибе

Линия, в каждой точке которой напряжения равны нулю, называется

нейтральной линией (осью).

Пусть xn, yn координаты точки, расположенной на нейтральной линии. При этом поставим условие, чтобы они не были равными нулю. В

149

соответствии с определением нейтральной оси, поставим условие, чтобы нормальной напряжение в этой точке было равно нулю.

следует, что нейтральная линия – это прямая (381). Значит, ее можно называть нейтральной осью.

Из формулы (381), очевидно, что напряжение в центре тяжести сечения, то есть при xn и yn равным нулю, при косом изгибе равно нулю. Следовательно, нейтральная линия (ось) при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения, и наклонена к оси X под углом (384).

Угол всегда откладываем от оси X так, чтобы нейтральная ось

проходила через отрицательные квадранты, если оси X и Y направлять в сторону растянутых волокон.

Если Jx Jy , то, очевидно, что нейтральная ось не перпендикулярна

силовой линии, то есть плоскости суммарного изгибающего момента, так как . Отметим, что плоскость суммарного изгибающего момента в

сечении наклонена к оси Y под углом (рис.119).

Для сечений, у которых Jx Jy (круг, квадрат, кольцо и др.) косой

изгиб, согласно данному определению, вообще невозможен, так как любая центральная ось сечения является главной. Поэтому силовая плоскость будет всегда содержать одну из многочисленных главных осей инерции.

150