Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальности 6-05-0732-01 «Техническая эксплуатация зданий и сооружений»

Подставим выражение (333) в формулу (330) и получим виртуальную работу внутренних сил на элементарном участке балки

где M1, M2 – функции изгибающих моментов от сил F1 и F2. Виртуальная работа по всей длине балки равна интегралу

Сформулируем теорему о взаимности работ внутренних сил.

Работа внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе внутренних сил второго состояния на перемещениях первого состояния.

Отсюда имеем

где 12 , 21 – перемещения, вызванные единичными силами.

Сформулируем теорему о взаимности перемещений.

Перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы.

131

12.4. Определение перемещений методом Максвелла-Мора

Рассмотрим балку, загруженную нагрузкой общего вида – сосредоточенными моментами, силами и равномерно распределенными нагрузками. Обозначим это состояние балки состоянием k.

Рассмотрим эту же балку, загруженную единичной силой F 1,

1

приложенной в произвольной точке. Обозначим такое состояние балки i. Пусть требуется определить перемещение точки, к которой

приложена единичная сила (109).

Полученное выражение называется интегралом Мора. Здесь

M – линейное или угловое перемещение, вызванное изгибом балки;

Mi – функция изгибающего момента, вызванная единичной силой

(черточка вверху означает, что эта величина от единичной силы); Mk – функция изгибающего момента от нагрузки;

l – длина участков балки.

Интеграл берется на каждом участке отдельно, а затем все интегралы суммируются.

132

Аналогично для стержня, подвергнутого центральному растяжению– сжатию

Деформации стержня от сдвига

Здесь – коэффициент, зависящий от формы сечения (по справочнику) Деформации стержня от кручения

поперечных сил на деформации балки пренебрегают. Поэтому, обычно, для балок используется только первый интеграл.

12.5. Вычисление интеграла Мора способом Верещагина

Взятие интеграла Мора не всегда удобно и связано с необходимостью составления функции внутренних сил. Поэтому вместо интегрирования интеграла Мора можно воспользоваться графоаналитическим способом – способом перемножения эпюр (способом Верещагина). Рассмотрим этот метод подробнее.

Рассмотрим две эпюры (рис. 102). Пусть одна имеет произвольное очертание, а другая – прямолинейное.

Пусть жесткость балки на рассматриваемом участке величина постоянная EJ const.

Тогда

Учтем, что

133

z

zC

Рис. 102. Перемножение эпюры произвольного очертания и линейной эпюры способос Верещагина

Отметим, что отношение, вынесенное за знак интеграла, не зависит от координаты z.

Окончательно имеем

Способ Верещагина перемножения эпюр можно сформулировать следующим образом.

Интеграл Мора равен произведению площади эпюры Mk (любого очертания) на ординату прямолинейной эпюры Mi , расположенную

134

под центром тяжести эпюры Mk, деленному на жесткость стержня

EJ.

Интеграл (значение) считается положительным, если обе эпюры изгибающих моментов расположены по одну сторону от оси балки. Если перемножаемые эпюры располагаются по разные стороны от оси балки, то значение интеграла, полученное способом Верещагина, принимается отрицательным.

Отметим, что если брать интеграл непосредственно, то знак получается в результате вычислений ”как бы автоматически”. В способе Верещагина его следует ставить по вышеуказанному правилу.

Положительное значение интеграла означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента).

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина, который предложил студент МИИЖТ Верещагин в 1924.

12.6. Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической форм.

Любую эпюру изгибающих моментов при загружении балки сосредоточенными силами, моментами и равномерно распределенными нагрузками всегда можно представить как сумму эпюр треугольного и параболического очертания (рис. 103).

Mc M2

Mc C

C

Рис. 103. Элементарные эпюры треугольной (а) и параболической (б) форм

Эпюры, приведенные на рисунке 103, мы можем назвать элементарными или простыми, так как для них легко определяется положение центра тяжести и площади.

Площадь и центр тяжести треугольной эпюры (рис. 103, а)

Площадь и центр тяжести параболической эпюры (рис. 103, б)

135

Тема 13 Статически неопределимые системы. Метод сил

13.1. Неразрезные балки. Основные понятия

Пусть балка расположена в плоскости ZY. В этом случае балка, способная воспринимать произвольную, должна быть прикреплена к опоре не менее чем тремя связями. Эти три связи называются безусловно необходимыми. Все остальные связи, если они есть, являются “лишними”.

Если связей недостаточно, то есть меньше трех, то система (балка) становится кинематически изменяемой и в качестве строительной конструкции непригодна. Если число связей больше чем требуется из условия кинематической неизменяемости, то есть больше чем три, то балка является статически неопределимой.

Число “лишних” связей определяется степенью статической неопределимости. Пусть дана балка на четырех опорах (рис. 106)

ZA A B C D

YA YB YC YD

Рис. 106. Неразрезная балка, прикрепленная к опоре пятью связями

Если балку рассматривать как жесткое тело (диск) на плоскости, то она имеет три степени свободы – смещения по горизонтальному и по вертикальному направлениям, а также поворот около любой неподвижной точки. Количество уравнений равновесия равно трем

Бывают случаи, когда число связей больше чем три, а система (балка) все равно кинематически изменяемая. Пример приведен на рисунке (рис.

107).

A B C D

YA YB YC YD

Рис. 107. Кинематически изменяемая система

137

13.2. Понятие об основной системе метода сил. Эквивалентная система

Основная система строится путем отбрасывания (перерезывания) всех “лишних” связей. При этом основная система должна быть:

–статически определимой;

–кинематически неизменяемой.

Для любой неразрезной (статически неопределимой) балки можно построить бесконечное множество основных систем метода сил.

Какие-то варианты основной системы могут быть “более выгодными” или “невыгодными” по объему вычислений. Примеры основных систем для статически неопределимой балки приведены ниже (рис. 116).

X2

Рис. 108. Примеры построения основных систем для неразрезной балки

Для получения эквивалентной (равной по своим деформациям) системы по отношению к заданной основной системе требуется приложить неизвестные силы в перерезанных связях. Затем поставить условие, чтобы суммарная деформация от нагрузки и неизвестных по направлениям перерезанных связей была равна нулю.

Для иллюстрации возьмем пример дважды статически неопределимой балки (рис. 109).

Рис. 109. Статически неопределимая (неразрезная) балка (а) и основная система с перемещениями и неизвестными силами в перерезанных связях (б)

Построим основную систему путем установки перерезывающих шарниров в защемлении A и над опорой B.

138

Составим уравнения совместности деформаций

Очевидно, что для рассматриваемой неразрезной балки перемещения1 и 2 должны быть равны нулю. Сечение у опоры A повернуться не

может из-за защемления. Поэтому 1 0 . Левое и правое сечения над

опорой B поворачиваются, но остаются параллельными. Значит, угол между ними 2 0 остается равным нулю и после деформации балки.

Если поставленное нами условие

выполняется для основной системы, основная система станет эквивалентной исходной (неразрезной) балке. Это значит, что и деформации, и внутренние силы в основной системе и в заданной балке будут совершенно одинаковые.

13.3. Канонические уравнения метода сил

Учитывая принцип независимости действия сил, деформации основной системы (358) можно представить следующим образом

где 11 – перемещение основной системы по направлению первой

перерезанной связи от единичной силы (момента), приложенной по направлению этой же первой связи;

139

12 – перемещение основной системы по направлению первой

перерезанной связи от единичной силы (момента), приложенной по направлению второй перерезанной связи;

21 – перемещение основной системы по направлению второй

перерезанной связи от единичной силы (момента), приложенной по направлению первой перерезанной связи;

22 – перемещение основной системы по направлению второй

перерезанной связи от единичной силы (момента), приложенной по направлению этой же второй связи;

Тогда условие совместности деформаций (перемещений) примут вид

Эти уравнения называются каноническими уравнениями метода сил, так как неизвестными являются силы (моменты).

Канон (греч. κανών) — неизменная (консервативная) традиционная, не подлежащая пересмотру совокупность законов, норм и правил в различных сферах деятельности и жизни человека.

Таким образом, каждое каноническое уравнение выражает следующее, что сумма перемещений основной системы по направлению соответствующей перерезанной связи от неизвестных и нагрузки равна нулю. То есть каждое каноническое уравнение – этои есть уравнение совместности деформаций (перемещений).

Количество канонических уравнений метода сил всегда совпадает со степенью статической неопределимости балки (системы).

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений вычисляются по методу Максвелла–Мора (способом Верещагина). Хотя не исключается для этого использование других методов, например, метода начальных параметров.

Решив систему канонических уравнений, получим значения неизвестных, то есть раскроим статическую неопределимость. Затем, к

основной системе прикладываются нагрузка и найденные неизвестные и строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, как для статически определимой балки. Эти эпюры обычно называют окончательными.

Отметим, что вместо того, чтобы заниматься статически неопределимой балкой в методе сил мы занимаемся статически определимой балкой, которая называется основной системой.

140