Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Р е ш е н и е. Вначале определим все внешние силы – реакции опор. Будем предполагать, что реакции опор YA и YB направлены вверх. Отметим, что горизонтальная реакция ZA равна нулю, так как все нагрузки, приложенные к балке, вертикальные.

Составим уравнения статического равновесия и определим значения реакций опор YA и YB.

M A q 2a 2a F 2a YB 3a M 18 2 2 2 2 24 2 2

YB 3 2 48 0, YB 72 кН;

MB YA 3a q 2a a F a M YA 3 2 18 2 2 2

24 2 48 0, YA 24 кН.

Обе реакции получились положительными. Следовательно, предположение о том, что они направлены вверх правильное.

Определеим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях на балке. Для этого используем метод сечений.

81

Рис. 65 – Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой балке

На всех рисунка (рис. 66) выбраны направления поперечных сил и изгибающих моментов такими, которые соответствуют их положительным значениям.

сечение правее опоры A (рис. 66, а)

82

83

Рис. 66 – Рассмотренные части балки при использовании метода сечений: а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее точки 2; г) левее точки 3; д) правее точки 3;

е) левее точки 4; ж) правее точки 4; з) левее точки 5; и) в точке К

Сечение в точке K, расположенной в том месте балки, где поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент принимает экстремальное значение (рис. 66, и). Удаленность этой точки от левого края участка определяется отношением значения поперечной силы на этом конце участка к интенсивности распре-

деленной нагрузки z0 1824 1,33м .

Найдем значение изгибающего момента в сечении, проведенном через точку K.

84

Ms YA a z0 q z0 z20 Mx 24 2 1,33 18 1,33 1,233 M X 0;

Mx 64кНм .

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов строим их эпюры (рис. 65).

Момент сопротивления прямоугольного сечения (рис. 65) с учетом отношения высоты к его ширине выражается формулой

выразим требуемую ширину сечения, принимая расчетное значение изгибающего момента Mx 64кНм ,

b 3 2Mx 3 2 64 103 0,149м 15см. 3R 3 13 106

В соответствии с заданным отношением высоте сечения к его ширине вычислим требуемую высоту сечения.

h 3b 3 15 45см.

Вычислим момент инерции, момент сопротивления и статический момент отсеченной части сечения.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным и по касательным напряжениям, принимая в качестве расчетных значений поперечной силы Qy 72кН и значение изгибающего момента Mx 64кНм .

85

По касательным напряжениям (по формуле Журавского)

Для изготовления использовать клееную деревянную балку.

1.6.13Пример построения эпюр внутренних сил и расчет на прочность защемленной балки

Да н о. Деревянная защемленная одним концом балка круглого сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно рав-

ны R=13 МПа и Rs=2 МПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 67).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из

условия прочности подобрать диаметр сечения балки, соблюдая условие D 32см . Если для одной балки это условие не соблюдается, то принять две

или три или большее количество балок.

Р е ш е н и е. Из условия равновесия определим реакции опор YA и MA.

Используя метод сечений (см. предыдущий пример), вычислим поперечные силы и изгибающие моменты в помеченных буквами сечениях балки и построим их эпюры (рис. 67).

Расчетные поперечная сила и изгибающий момент, соответственно, равны Qy=48 кН и Mx=60 кНм.

86

Рис. 67 – Схема балки, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Из условия прочности

определим диаметр сечения балки, если использована она одна n=1

Ограничение по размеру сечения не выполняется. Поэтому примем две балки n=2.

87

тельно больше горизонтального перемещения W и должно учитываться в расчетах.

0

Рис. 68 – Перемещения конца консоли при поперечном изгибе

Для определения прогибов воспользуемся уравнением для кривизны.

Из курса высшей математики известно, что кривизна линии может быть найдена по формуле

Так как для реальных балок, встречающихся в строительстве, угол поворота поперечного сечения величина малая по сравнению с единицей

то квадратом производной можно пренебречь. Тогда формула для кривизны (147) упрощается и принимает вид

89

Левые части уравнений (147) и (149) равны. Следовательно, равны и правые части. Тогда приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки принимает вид

1.6.15 Метод непосредственного интегрирования

Метод основан на непосредственном интегрировании полученного приближенного дифференциального уравнения. Последовательно интегрируем дифференциальное уравнение (150). Вначале запишем его так

Учитываем, что первая производная от прогиба является функцией угла поворота поперечных сечений

Подставляем выражение (152) в уравнение (151) и получим

90