Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Рис. 43 – Шарнирно-неподвижная опора: а) конструктивная схема; б) изображение опоры в сопротивлении материалов;

в) изображение опоры в строительной механике

Шарнирно-подвижная цилиндрическая опора – допускает поворот и смещение опоры по одному из направлений. На такой опоре может появиться только одна реактивная сила XA или YA, так как она (опора) имеет только одну связь (рис. 44).

Рис. 44 – Шарнирно-подвижная опора: а) конструктивная схема; б) изображение опоры в сопротивлении материалов;

в) изображение опоры в строительной механике

Считается, что в шарнирных опорах силы трения отсутствуют.

Заделка (защемление) – не допускает поворота и смещений сечений. На такой опоре появляются две реактивные силы и реактивный момент, так как она имеет три связи (рис. 45).

MA

YA

Рис. 45 – Заделка (защемление): а) конструктивная схема; б) изображение опоры в сопротивлении материалов;

в) изображение опоры в строительной механике

61

В зависимости от способа прикрепления балки к опоре различают типы балок (рис. 46) – простая шарнирная балка (а), балка защемленная (б) и балка с консолями (в).

Рис. 46 – Типы балок: а) простая шарнирная балка; б) консоль; в) балка с консолями

Часть балки, выступающая за левую (правую) крайнюю опору называет-

ся консолью балки.

Часть балки, расположенная между соседними опорами (в том числе и защемлением) называется пролетом балки.

1.6.3 Вычисление внутренних сил при поперечном изгибе балки

При изгибе балки в поперечных сечениях возникают поперечные силы и изгибающие моменты. Для определения внутренних сил используется метод сечений (см. ниже). Поперечная сила и изгибающий момент определяются из уравнений равновесия отсеченной части балки (рис. 47)

Рис. 47 – Иллюстрация метода сечения при определении внутренних сил в балках

Поперечная сила, вызывающая сдвиг по ходу часовой стрелки, принимается положительной (рис. 48).

62

Рис. 48 – Правило знаков для поперечных сил в балках

Изгибающий момент, вызывающий растяжение нижних волокон балки, считается положительным (рис. 49).

Рис. 49 – Правило знаков для изгибающих моментов в балках

1.6.4Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки.

Рассмотрим консольную балку (рис. 50).

Составим уравнения равновесия для элементарного участка балки

dz

Рис. 50 – Внутренние силы, действующие на элементарный участок балки

Отсюда получим

63

1.6.5 Пример построения эпюр внутренних сил способом составления аналитических выражений

При построении эпюры Qy положительные ординаты откладываем вверх, а отрицательные вниз.

При построении эпюры Mx положительные ординаты откладываем вниз, а отрицательные вверх.

Используя метод сечений, составляются аналитические выражения (функции) для Qy и Mx на каждом характерном участке балки. По полученным функциям строятся графики (эпюры) поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 51). Реакции опор равны друг другу. Поэтому каждая из них равна половине равнодействующей от нагрузки q

YA YB ql2 .

Для более четкого понимания выполним расчет от каждой внешней силы отдельно. Вначале приложим к левой части балки только реакцию YA на опоре A (рис. 52) и выразим поперечную силу и изгибающий момент как функции аргумента z – координаты сечения.

64

q

+

-

ql/2

Эп. MX

+

ql2/8

Рис. 51 – Построение эпюр внутренних сил методом составления аналитических выражений (функций)

Реакция YА сдвигает рассматриваемую часть балки вверх. Материал сопротивляется этому сдвигу. Поэтому появляется поперечная сила QY, равная реакции YА и направленная вниз (рис. 52, а). Так как сдвиг, вызванный парой сил YА и Qy, направлен по ходу часовой стрелки, то знак поперечной силы, согласно принятым правилам, принимается положительным.

Qy YA ql2 .

Для наглядности изгибающий момент изобразим в виде пары сил (рис. 52, б). Реакция YА “пытается” повернуть левую часть балки относительно сечения S по ходу часовой стрелки. Поэтому изгибающий момент Mx направлен против хода часовой стрелки. Из рисунка (рис. 52, б) очевидно, что верхняя стрелка пары сил, изображающей изгибающий момент, направлена в сторону продольных волокон, поэтому вызывает их сжатие. Нижняя стрелка пары сил, изобра-

65

жающих изгибающий момент Mx, направлена вправо, то есть из материала. Значит, она вызывает растяжение нижних продольных волокон. Отсюда следует согласно правилу знаков для изгибающих моментов, что изгибающий момент положительный.

Рис. 52. Определение внутренних сил в сечении балки от реакции на левой опоре: а) поперечной силы; б) изгибающего момента

Затем приложим к левой части балки только часть равномерно распределенной нагрузки q (рис. 53, а) и так же выразим поперечную силу и изгибающий момент как функции аргумента z – координаты сечения.

Рис. 53 – Определение внутренних сил в сечении балки от части равномерно распределенной нагрузки q

Mx YA z ql2 z.

Равнодействующая от части равномерно распределенной нагрузки, приложенной к рассматриваемой части балки, сдвигает рассматриваемую часть балки вниз. Материал сопротивляется этому сдвигу. Поэтому появляется поперечная сила Qy, равная равнодействующей q z и направленная вверх (рис. 53, а). Так как сдвиг, вызванный парой сил q z и Qy, направлен против хода часовой стрелки, то знак поперечной силы, согласно принятым правилам, принимается отрицательным.

Qy qz.

Для наглядности изгибающий момент изобразим в виде пары сил (рис. 53, б). Равнодействующая части равномерно распределенной нагрузки q “пытается” повернуть левую часть балки относительно сечения S против хода часовой стрелки. Поэтому изгибающий момент Mx направлен по ходу часовой стрелки.

66

Из рисунка (рис. 53, б) очевидно, что верхняя стрелка пары сил, изображающей изгибающий момент, направлена из материала, поэтому вызывает растяжение верхних волоко. Нижняя стрелка пары сил, изображающих изгибающий момент Mx, направлена влево, то есть в сторону материала. Значит, она вызывает сжатие нижних продольных волокон. Отсюда следует согласно правилу знаков для изгибающих моментов, что изгибающий момент от части равномерно распределенной нагрузки положительный.

Mx q z z qz2 . 2 2

Учитывая принцип независимости сил, суммируем обе поперечные силы и оба изгибающих момента. В результате получим аналитические выражения для поперечной силы и для изгибающего момента, вызванные всей нагрузкой на балку.

Используя полученные функции, вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов в отдельных сечениях балки:

при z=0

По полученным значениям строим эпюру Qy, учитывая, что график имеет вид прямой, и эпюру Mx, учитывая, что график имеет вид квадратной параболы

(рис. 51).

Отметим, что при составлении аналитических выражений для поперечных сил и изгибающих моментов можно отбрасывать часть балки, расположенную левее от сечения или правее от сечения. Результаты в этом случае – аналитические выражения для Qy и Mx, должны быть такими же, как в первом случае. Это часто используют для проверки.

67

1.6.6 Построение эпюр внутренних сил в балках способом характерных сечений. Десять (золотых) правил анализа

Этот способ более быстрый. На балке выделяются особые сечения – точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец распределенной нагрузки, места расположения опор, начало и конец балки. Такие сечения следует отметить буквами или пронумеровать слева направо. Отмеченные сечения делят балку на участки. В этих сечениях вычисляются значения внутренних сил и наносятся на эпюры. Полученные точки соединяются с соблюдением очень важных и полезных следующих правил.

1.Анализ эпюр всегда выполнять слева направо. При анализе должны выйти из нуля и прийти в ноль.

2.В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре изгибающих мо-

ментов Mx наблюдается разрыв (скачок) вниз, если момент направлен по ходу часовой стрелки, и вверх, если он направлен против хода часовой стрелки.

3.В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре поперечных сил Qy наблюдается разрыв (скачок) вниз, если сила направлена вниз, и разрыв (скачок) вверх, если сила направлена вверх.

4.В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре изгибающих момен-

тов Mx наблюдается излом с острием, направленным вниз, если сила направлена вниз, и вверх, если сила направлена вверх.

5.Если на участке балки нет распределенной нагрузки q, то поперечная сила

Qy на этом участке постоянная, а эпюра изгибающих моментов Mx имеет прямолинейный характер (линейная).

6.На участке балки, где приложена равномерно распределенная нагрузка q,

эпюра поперечных сил Qy имеет прямолинейный характер. Если нагрузка q направлена вниз, то поперечная сила Qy уменьшается при движении по балке слева направо, а если вверх, то она увеличивается.

7.На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра

изгибающих моментов Mx имеет вид квадратной параболы с выпуклостью вниз, если q направлена вниз, и вверх, если q направлена вверх.

8.В поперечном сечении, где поперечная сила Qy равна нулю на эпюре изгибающих моментов My наблюдается экстремум.

9.Площадь эпюры поперечных сил Qy на участке балки равна изменению изгибающего момента Mx на этом участке при условии, что эпюра изгибающих моментов Mx не имеет разрыва.

10.Если на участке балки поперечная сила Qy положительная, то изгибающий момент Mx увеличивается. И, наоборот.

Отметим, что эти правила справедливы только в случае, если эпюра изгибающих моментов построена на растянутых волокнах балки

Рассмотрим пример, показанный на рисунке (рис. 54, а).

68

1.6.7 Пример построения эпюр внутренних сил для элементарной балки методом характерных сечений

Вначале, используя уравнения статического равновесия, определим реакции на левой и правой опорах балки. Так как нам заранее неизвестны направления реакций, будем предполагать, что обе реакции направлены вверх. Составим уравнения равновесия.

Реакция YA получилась отрицательной. Это опровергает наши предположения о направлении реакции на левой опоре. Исправим нашу ошибку и направим реакцию YA вниз (см. рис. 54, а).

Рассмотрим часть балки, расположенной слева от сечения 1, к которой приложена единственная внешняя сила YA, направленная вниз и “пытающаяся” эту часть сдвинуть вниз. Материал сопротивляется такому сдвигу и в рассмотренном сечении появляется поперечная сила Q1, направленная вверх и равная реакции YA (рис. 54, б). Обе силы YA и Q1 вызывают сдвиг, направленный против хода часовой стрелки. Согласно принятому правилу знаков для поперечных сил, поперечная сила Q1 принимается отрицательной и равной

Q1 YA 8кН .

Плечо s реакции YA стремится к нулю, так как сечение 1 мы провели бесконечно близко к опоре A, располагая его справа (рис. 54, б). Поэтому создать момент YA не может. Значит, материалу нечему сопротивляться, и изгибающий момент M1 равен нулю M1 YA s 8 0 0 .

69

Рис. 54 – Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балке методом характерных сечений от нагрузок в виде сосредоточенного момента

Теперь проведем сечение 2 бесконечно близко к точке С слева и рассмотрим левую часть балки от этого сечения (рис. 50, в). Повторяется ситуация, полученная для сечения 1. Поэтому и в сечении 2 появиться отрицательная сила равная реакции YA, Q2 YA 8 кН .

Реакция YA имеет плечо относительно сечения 2 и “пытается” повернуть левую часть балки против хода часовой стрелки. Материал сопротивляется и в сечении 2 появляется изгибающий момент M2, направленный по ходу часовой стрелки. Изображая изгибающий момент в виде пары сил, можно видеть, что верхняя стрелка вызывает растяжение верхних волокон, а нижняя – сжатие нижних волокон. Согласно правилу знаков для изгибающих моментов момент M2 принимается отрицательным и равным

M2 YA s YA a 8 4 32кНм .

Аналогичными рассуждениями можно найти поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях 3 и 4.

Q3 YA 8кН; M3 YA s M YA a M 8 4+48 16кНм;

Q4 YA 8кН; M4 YA s M YA (a b) M 8 (4+2)+48 0 .

Проверим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, используя десять правил, приведенных выше.

70