Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Рис. 34. – Любая центральная ось для сечений в форме квадрата, равностороннего треугольника, равностороннего многоугольника, круга является главной центральной осью инерции

В некоторых случаях для определения знака или положения объектов удобно использовать правила построения и знаки квадрант координатной плоскости. Отметим, что квадранты образуются разделением координатной плоскости координатными осями на четверти. Квадранты ограничены с двух сторон координатными осями и неограниченны с двух других сторон (рис. 35).

Рис. 35. – Расстановка знаков на квадрантах координатной плоскости

Примем правило расстановки знаков квадрант. Будем считать, что если произведение координат точки величина положительная, то квадрант, в котором расположена эта точка, считается положительным, если произведение координат отрицательное, то квадрант считается отрицательным.

Правило построения главных осей инерции.

Ось V с меньшим главным моментом инерции IV всегда откладываем на угол α от оси X или Y с меньшим моментом инерции так, чтобы ось V проходила через квадранты, имеющие знак, совпадающий со знаком центробежного момента инерции DXY.

Очень часто в составных сечениях встречаются элементы в виде равнополочных и неравнополочных уголков. На рисунке 36 для уголков показаны положения главных центральных осей инерции V с меньшим главным моментом инерции IV.

51

Рис. 36. – Положение главной центральной оси инерции Iv с меньшим главным моментом инерции в сечениях, имеющих форму уголков

1.5.6 Центробежный момент инерции прямоугольного треугольника

При поиске положения главных осей инерции и значений главных моментов инерции сечений сложной геометрической формы требуется определять центробежный момент инерции. А для этого требуется знать центробежные моменты инерции частей сечения простых геометрических форм. Для сечений прямоугольного и круглого сечений центробежный момент равен нулю. А вот для сечения треугольной формы его необходимо найти. Рассмотрим сечения в виде прямоугольного треугольника (рис. 37).

В качестве элементарной площадки примем полоску по ширине сечения параллельную оси X1 толщиной dy.

Зависимость ширины элементарной полоски от ее положения, то есть от y, имеет вид

Рис. 37. – Положение главных осей инерции сечение в форме прямоугольного треугольника

52

Зависимость координаты центра тяжести элементарной полоски от ее положения, то есть от y, имеет вид

В результате имеем зависимость центробежного момента прямоугольного треугольника относительно осей, проведенных через его катеты

Воспользуемся зависимостью центробежного момента относительно параллельных осей и получим

Окончательно имеем формулу для вычисления центробежного момента инерции сечения прямоугольной треугольной формы относительно центральных осей, параллельных катетам треугольника.

Примерное положение главных центральных осей инерции для сечений в виде прямоугольного треугольника показано на рисунке 37.

53

1.5.7 Геометрические характеристики сечений сложной формы

Сечения сложной формы делятся на части, имеющие простые геометрические формы – прямоугольники, треугольники, круги и др. К сечениям, имеющим простые формы, относятся те сечения, для которых легко можно указать положение центра тяжести, площадь, значения осевых и центробежного моментов инерции.

Статические моменты и моменты инерции сечения сложной формы вычисляются по формулам

ВНИМАНИЕ. Суммирование статических моментов и моментов инерции относительно разных осей не допускается.

1.5.8 Пример расчета геометрических характеристик плоского сечения сложной геометрической формы

Дано сечение сложной геометрической формы (рис. 38). Размеры сечения обозначены буквами a=12 см и b=9 см. Требуется найти положение центра тяжести, моменты инерции относительно центральных осей XC и YC, главные центральные моменты инерции IU и IV, положение главных осей инерции U и V.

Рис. 38. Плоское сечение сложной геометрической формы

Разделим сечение на части в виде треугольника и прямоугольника

(рис.39).

54

Рис. 39. – Части сечения – а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник

Проведем вспомагательную ось X по нижнему краю сечения, а ось Y по левому краю сечения (рис. 38). Найдем координаты центров тяжести, площади и моменты инерции отдельных фигур относительно их собственных центральных осей.

Вычислим статические моменты сечения относительно вспоматегельных осей X и Y

Определим координаты центра тяжести всего сечения

55

Покажем на сечении центр тяжести и центральные координатные оси XC и YC. Вычислим новые координаты центров тяжестей отдельных фигур.

Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей XC и YC.

56

Ось V откладываем от оси XC на угол , потому что IXC IYC , так, чтобы ось V проходила через положительные квадранты, так как DXCYC 0 .

1.5.9Пример расчета геометрических характеристик плоского сечения составленного из прокатных профилей

Дано сечение, состоящее из прокатных неравнополочного уголка

№160х100х9 и швеллера №24 (рис. 40). Требуется найти положение центра тяжести, значения главных центральных моментов инерции и их положение на сечении.

Вычертим эскизы прокатных профилей из таблиц и выпишим значения необходимых геометрических характеристик (рис. 41). При этом будем считать уголок первой фигурой, а швеллер – второй фигурой.

1. Уголок неравнополочный 160х100х9

2. Швеллер с уклоном полок №24

h/2

Y

0

y01 x02

b

Рис. 40 – Схема составного сечения

57

Рис. 41 – Прокатные профиля: уголок неравнополочный (а) и швеллер (б)

Проведем вспомогательную ось X по нижнему, а ось Y по левому краю сечения (рис. 40).

Определим координаты центров тяжестей элементов сечения во вспомогательных осях X и Y.

Вычислим площадь всего сечения

Определим координаты центра тяжести сечения

58

Вычислим новые координаты центра тяжести элементов сечения в центральных осях XC и YC.