Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Осевым (экваториальным) моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика численно равная интегралу

Отметим, что I x ,I y – всегда величины положительные и измеряются в см4, м4.

Полярным моментом инерции сечения называется геометрическая ха-

рактеристика равная интегралу

Полярный момент инерции всегда величина положительная, измеряется в см4, мм4.

Между полярными координатами и декартовыми координатами существует связь

То есть, имеем связь полярного и осевых моментов инерции при условии, что оси X и Y взаимноперпендикулярные, а полюс расположен в точке пересечения этих осей

Центробежным моментом инерции сечения называется геометриче-

ская характеристика равная интегралу

A

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю, и измеряется в см4, м4 и пр.

1.5.2 Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Пусть для сечения произвольной формы (рис. 29) заданы значения A,I x ,I y ,I p ,Dxy ,Sx ,S y и известно положение центра тяжести. Требуется найти

41

(выразить) моменты инерции этого сечения относительно осей X1, Y1 , проведенных параллельно осям X , Y на расстоянии, соответственно, x0 и y0 .

Рис. 29. – Координаты точки сечения в исходной и производной системах координатных осей

Очевидно, что между координатами выделенной точки существует связь

Окончательно имеем

42

Пусть оси X и Y будут центральными. Тогда статические моменты сечения относительно этих осей будут равны нулю Sx 0,S y 0 . Зависимости меж-

Здесь x0 и y0 являются расстояниями между соответствующими осями координат Xc, X1 и Yc, Y1.

Из полученных зависимостей можно выразить моменты инерции сечения относительно центральных осей координат.

Очевидно, что осевой момент инерции относительно центральной оси всегда меньше осевого момента инерции относительно любой нецентральной оси параллельной центральной.

1.5.3 Моменты инерции сечений простых геометрических форм

Наиболее часто употребляемые формы сечений элементов конструкций являются сечения прямоугольной, треугольной и круглой форм.

Получим формулы для определения моментов инерции сечения прямо-

угольной формы (рис. 30, а).

Согласно определению (66) выразим момент инерции относительно оси X1

Таким образом, момент инерции прямоугольного сечения относительно оси, проходящей через его основание, равен

43

Рис. 30. – Сечения прямоугольной (а) и круглой (б) форм

Получим формулу для момента инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной его основанию. Для этого используем зависимость моментов инерции относительно параллельных осей (76).

Вформулах (79) и (81) в куб возводится размер той стороны, которая перпендикулярна оси, относительно которой вычисляется момент инерции.

Получим формулы для вычисления моментов инерции сечения круглой формы (рис. 30, б)

Вкачестве элементарной площадки здесь удобно выбрать кольцо толщи-

ной равной дифференциалу d . Тогда полярный момент инерции равен по определению (67)

Согласно определению (67) выразим полярный момент инерции относительно полюса О (центра круглого сечения)

Окончательно имеем

44

Выведем формулу для вычисления осевого момента инерции круглого сечения, используя ранее полученные зависимости между полярным и осевыми моментами инерции (70),

Отсюда следует, что осевой момент инерции сечения круглого сечения относительно центральной оси равен

В качестве элементарной площадки выберем элементарную полоску, параллельную оси X1 (рис. 31). Ширина элементарной полоски меняется в зависимости от ее положения, то есть является функцией от y (86).

45

Очевидно, что выбранная функция подходит. Момент инерции относительно оси X1 равен

Окончательно имеем формулу для вычисления момента инерции треугольного сечения относительно оси, проходящей через его основание.

Обратим внимание на то, что ось XC является центральной осью, параллельной основанию треугольника.

1.5.4 Зависимость моментов инерции при повороте осей

Пусть для сечения произвольной формы (рис. 32) известны Ix , Iy , Dxy и A . Требуется выразить моменты инерции сечения относительно осей X1 и

Y1, повернутых по отношению к осям X, Y на угол α. Отметим, что оси X и Y могут быть и не центральными.

46

Y

Рис. 32. – Координаты точки сечения в исходных и произвольных системах координатных осей

Связь между координатами двух систем координатных осей установим по рисунку 32.

Ixcos2 (α) Dxysin(2α) Iysin2 (α).

Аналогично получим выражение для момента инерции относительно оси Y1 Центробежный момент инерции сечения относительно осей X1 и Y1 равен

Dx1y1 x1y1dA x cos(α) y sin(α) y cos(α) x sin(α) dA

A

y2 x2 sin(α) cos(α) xy cos2 (α) sin2 (α) dA

A

47

Ix Iy sin(2α) Dxy cos(2α).

2

Окончательно имеем

Таким образом, выражение (95) подтверждает, что сумма моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной и той же точке (не обязательно в центре тяжести сечения), является величиной постоянной и равной полярному моменту сечения относительно точки пересечения этих осей.

1.5.5 Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим сечение произвольной формы. Пусть оси поворачиваются около неподвижной точки C (рис. 33).

При изменении угла α изменяются и моменты инерции сечения относительно поворачивающихся осей. Так как моменты инерции выражаются непрерывными функциями (94) с аргументом α, то они должны иметь экстремальные значения. Обозначим оси, относительно которых моменты инерции принимают экстремальные значения буквами U и V. Причем условимся – ось с максимальным моментом инерции обозначать буквой U, а ось с минимальным моментом инерции буквой V. Найдем положение этих осей, то есть угол α.

48

Отсюда получаем формулу для определения положения двух взаимно перпендикулярных осей, относительно одной из которых момент инерции принимает максимальное значение, а относительно другой – минимальное.

Покажем, что центробежный момент относительно этих осей равен нулю. Для этого найдем угол поворота осей, относительно которых центробежный момент становится равным нулю.

49

Разделим уравнение (102) на cos2α, на (IX -IY) и умножим на 2. В результате получим

И окончательно получим выражение для угла наклона этих особенных осей инерции по отношению к первоначально взятым осям координат

Очевидно, что угол наклона осей с экстремальными моментами инерции и угол наклона осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю одинаковые. Следовательно, высказанное предположение справедливо. Дадим название этим особенным осям инерции.

Главными осями инерции называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они назы-

ваются главными центральными осями инерции, а моменты относительно этих осей – главными центральными моментами инерции.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось и ей перпендикулярная ось, неважно является ли она сама осью симметрии или нет, будут главными осями инерции.

Если сечение имеет более чем две оси симметрии, то согласно определению, любая центральная ось является главной центральной осью инерции. Примеры приведены на рисунке 34.

Главные моменты инерции плоского поперечного сечения вычисляются по формуле (без вывода)

Здесь IU – больший главный момент инерции; IV – меньший главный момент инерции, то есть IU IV .

50